Question

Докажите что (3n+ 2)^3 +(4n+5)^3 делится на 7​

Answer 1

Ответ:

Для начала надо упростить это выражение. *смотреть фото*

После упрoщения видно, что все слагаемые делятся на 7. *(91 n³/7 = 13 n³, 133 / 7 = 19) *

Если все слагаемые делятся на 7, то и выражение будет делится на 7.

Объяснение:

(3n+2)³ + (4n+5)³ и 91n³+133 тождественно равны.

Answer 2

Ответ:

Я конечно не про, но моё предположение таково.

допустим, что n=1 и порешаем уравнение .

При случае n=1 в ответе выходит значение 387 и делим его на 7, оно делиться . Таким образом мы доказали ,что при случае нечётной цифры на месте n , оно может делиться на 7 (Также можете попробовать с другими не чётными цифрами).

Теперь проведём все тежи самые действия, но только с цифрой 2 в данном случае чётным числом, у нас выходит 2709 и оно также может делиться на 7(Также можете попробовать с другими чётными цифрами).

Таким образом мы доказали, что  при любом значении n ответ данного выражения будет делится на 7.

Answer 3

Для доказательства этого утверждения, мы будем использовать метод математической индукции. Метод математической индукции состоит из двух шагов: базы индукции и перехода индукции.

База индукции: Проверим, что утверждение верно при n = 1. Подставим n = 1 в левую часть выражения и получим:

(3n + 2)^3 + (4n + 5)^3 = (3 + 2)^3 + (4 + 5)^3 = 5^3 + 9^3 = 125 + 729 = 854

Заметим, что 854 делится на 7, так как 854 = 7 * 122. Это означает, что утверждение верно при n = 1.

Переход индукции: Предположим, что утверждение верно при некотором натуральном k, то есть:

(3k + 2)^3 + (4k + 5)^3 делится на 7

Докажем, что из этого предположения следует, что утверждение верно и при k + 1, то есть:

(3(k + 1) + 2)^3 + (4(k + 1) + 5)^3 делится на 7

Для этого раскроем скобки в левой части выражения и получим:

(3(k + 1) + 2)^3 + (4(k + 1) + 5)^3 = (3k + 5)^3 + (4k + 9)^3

Распишем кубы по формуле a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) и получим:

(3k + 5)^3 + (4k + 9)^3 = (3k + 5 + 4k + 9)(9k^2 -12k -45) = (7k +14)(9k^2 -12k -45)

Заметим, что первый множитель в правой части выражения делится на 7, так как он имеет вид 7k +14. Это означает, что вся правая часть выражения делится на 7. Следовательно, левая часть выражения тоже делится на 7.

Таким образом, мы доказали переход индукции. Из базы и перехода индукции следует, что утверждение верно для любого натурального n. Это и есть ответ на задачу.