Question

Докажите что21^10-1 делится на 2200​

Answer 1

21¹⁰ - 1 = (21⁵)² - 1² = (21⁵ - 1)(21⁵ + 1) = (4 084 101 - 1)(4 084 101 + 1) =

= 4 084 100 * 4 084 102 = 40841 * 100 * 4 084 102 =

= 40841 * 100 * 22 * 185 641 = 40841 * 185 641 * 2200

Если один из множителей делится на 2200 , то и всё произведение делится на 2200 .

Answer 2

Для доказательства, что \(21^{10} - 1\) делится на 2200, давайте воспользуемся теоремой о вычетах и факторизацией. Первое, что нам нужно сделать, это факторизовать число 2200. 2200 можно разложить на простые множители: \[2200 = 2^3 \cdot 5^2 \cdot 11\] Теперь мы можем воспользоваться теоремой о вычетах, которая гласит, что если \(a \equiv b \mod m\), то также \(a^n \equiv b^n \mod m\) для любого целого положительного \(n\). Теперь давайте применим эту теорему к нашему выражению \(21^{10} - 1\): \[21^{10} - 1 \equiv 20^{10} - 1 \mod 2^3\] \[21^{10} - 1 \equiv 21^{10} - 1 \mod 5^2\] \[21^{10} - 1 \equiv 21^{10} - 1 \mod 11\] Теперь мы можем вычислить \(21^{10} - 1\) по модулю каждого из этих простых множителей: 1. По модулю \(2^3 = 8\): \[21^{10} - 1 \equiv 20^{10} - 1 \equiv (-1)^{10} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 8\] 2. По модулю \(5^2 = 25\): \[21^{10} - 1 \equiv 21^{10} - 1 \equiv (-1)^{10} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 25\] 3. По модулю 11: Здесь мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма, которая гласит, что если \(p\) - простое число и \(a\) не делится на \(p\), то \(a^{p-1} \equiv 1 \mod p\). В нашем случае, \(p = 11\) и \(21\) не делится на \(11\), поэтому: \[21^{10} - 1 \equiv 21^9 \cdot 21 - 1 \equiv (21^9 \mod 11) \cdot 21 - 1 \equiv 1 \cdot 21 - 1 \equiv 20 \equiv 0 \mod 11\] Теперь мы знаем, что \(21^{10} - 1\) делится на \(8\), на \(25\) и на \(11\). Следовательно, оно также делится на их наименьшее общее кратное (НОК), которое равно \(2^3 \cdot 5^2 \cdot 11 = 2200\). Итак, \(21^{10} - 1\) действительно делится на 2200.