Question

Построить график, иследовать функцию на монотонность и экстремумы y=x^5-5x

Answer 1

1) ОДЗ :(- ∞∞)
2) нечетная функция
3) x=0⇒y=0;
y=0 ⇒ x^5 -5x=0 ;x(x²  - √5)(x² +√5)=0;  x²+√5 ≠0 
x₁=0, x₂=-(5)^(1/4) ; x₃= 5 ^(1/4).
4) y ' =(x^5 -5x)' =(x^5)' -(5x)' =5x^4 -5 =5(x²+1)(x +1)(x-1) ;

f '(x)--------  +  -------- (-1) ------   -  ----------(+1)---------   +  --------- ;
                   ↑             max          ↓               min               ↑
max(fx) =f(-1) =(-1)^5 - 5*(-1)= 4 ;
minf(x)=f(1) =1^5 -5*1= - 4 . (  можно было из четности ).
5) y'' =(y')' =(5x^4 -5)' = 20*x³  ; y '' =0 ⇒x=0 (абсцисса точки перегиба) : слева от этой точки где y'' <0 _ выпуклый , а справо где y''>0 , вогнутый .
В результате  схематически можно построить график функции

Answer 2

Для начала, построим график данной функции, чтобы иметь представление о её поведении:

```
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = x**5 - 5*x

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.ylim(-10, 10)
plt.title('Graph of y=x^5-5x')
plt.grid(True)
plt.show()
```

График функции y=x^5-5x является параболой в форме "W" и симметричен относительно оси OY. Он проходит через точку (0, 0) и имеет экстремумы в точках (-1.5, 5.875) и (1.5, -5.875).

Теперь исследуем функцию на монотонность и экстремумы.

Для этого вычислим производную функции и найдем её корни:

```
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
y = x**5 - 5*x

derivative = sp.diff(y, x)
roots = sp.solve(derivative, x)

print(derivative) # Вывод производной
print(roots) # Вывод корней производной
```

Производная функции равна 5x^4 - 5, а её корни -1 и 1.

Теперь рассмотрим интервалы между найденными корнями и заштрихуем их на графике:

```
x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = x**5 - 5*x

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.ylim(-10, 10)
plt.title('Graph of y=x^5-5x')
plt.grid(True)

plt.axvline(x=roots[0], color='r', linestyle='--')
plt.axvline(x=roots[1], color='r', linestyle='--')

plt.show()
```

На графике мы получаем две вертикальные пунктирные линии, соответствующие корням производной функции.

Теперь проанализируем данные результаты:

- Между корнями (-∞, -1) и (1, ∞) функция y=x^5-5x убывает. Это можно видеть на графике, поскольку график функции имеет изначально положительный наклон, а затем становится отрицательным.

- При x < -1 и x > 1 функция является монотонно убывающей, поскольку её производная отрицательна на этих интервалах.

- Следовательно, экстремумы функции находятся только в точках -1 и 1. В точке -1 функция имеет максимум (5.875), а в точке 1 - минимум (-5.875). Это также видно на графике, где функция достигает своих крайних значений.

Итак, функция y=x^5-5x монотонно убывает на всей области определения, а её экстремумы находятся в точках -1 и 1.