Question

Разность шестого и четвертого членов арифметичесгкого прогрессии (аn) равна 6. сумма их квадратов равна 50 .Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.

Answer 1

Формула общего члена арифметической прогрессии:
$a_n=a_1+(n-1)d$

Поэтому
$a_6=a_1+5d \\ a_4=a_1+3d$

Answer 2

Пусть шестой член а6 равен (а+6d), а четвертый член а4 равен (а+3d), где "а" - первый член арифметической прогрессии, а "d" - разность. Из условия задачи, а6 - а4 = 6 (1) а6^2 + а4^2 = 50 (2) Раскроем второе уравнение: (а+6d)^2 + (а+3d)^2 = 50 а^2 + 12ad + 36d^2 + а^2 + 6ad + 9d^2 = 50 2а^2 + 18ad + 45d^2 = 50 Разделим оба уравнения на 2: а^2 + 6ad + 18d^2 = 25 (3) а^2 + 9ad + 22.5d^2 = 25 (4) Вычтем из (4) уравнение (3): 3ad + 4.5d^2 = 0.5 6ad + 9d^2 = 1 6ad + 9d^2 - 3ad - 4.5d^2 = 1 - 0.5 3ad + 4.5d^2 = 0.5 5.5d^2 = 0.5 d^2 = 0.5/5.5 d^2 = 1/11 d = ±sqrt(1/11) Так как разность не может быть отрицательной, то d = sqrt(1/11) Заменим это обратно в (3): а^2 + 6a*sqrt(1/11) + 18*(1/11) = 25 Перенесем 25 на левую сторону: а^2 + 6a*sqrt(1/11) - 25 + 18/11 = 0 Чтобы решить это уравнение, используем квадратное уравнение: D = b^2 - 4ac = (6*sqrt(1/11))^2 - 4*1*(-25+18/11) D = 36/11 - 4*(-25+18/11) = 36/11 + 100 - 72/11 = 100 - 36/11 = (1100 - 36) / 11 = 1064 / 11 Так как D > 0, решение существует. а1 = (-6*sqrt(1/11) + sqrt(1064/11)) / (2*1) а1 = (-6/ sqrt(11) + sqrt(1064)/ sqrt(11)) / 2 а1 = (-6 + sqrt(1064))/2sqrt(11) Исходя из (1), находим разность: а2 - а1 = 3d, а2 = а1 + 3d а2 = (-6 + sqrt(1064))/2sqrt(11) + (3* sqrt(1/11)) = (-6 + sqrt(1064))/2sqrt(11) + sqrt(11)/ 2 а2 = (-6 + sqrt(1064) + sqrt(11))/2sqrt(11) = (-6 + sqrt(1064)+ sqrt(11))/ sqrt(44) Аналогично: а3 = а2 + 3d = (-6 + sqrt(1064)+ sqrt(11) + 3* sqrt(1/11)) / sqrt(44) Таким образом, а1, а2, а3, а4, а5 и а6 выражены через а и d. После нахождения a и d, можно найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, используя формулу суммы членов арифметической прогрессии: Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d), где n = 10 - количество членов прогрессии. Теперь для решения задачи необходимо вычислить a и d, затем подставить их значения в формулу суммы первых десяти членов прогрессии.