Question

1. Вісім гостей випадковим чином займають місця за столом, сервірованим на 12 персон. Яка ймовірність того, що: а) кожен гість займе місце, приготоване спеціально для нього: б) дві найважливіші персони виявляться за столом поруч,2. Серед десяти команд науково-технічного конкурсу у м. Одеса 4 команди з Університету шляхів сполучення (УШС) і 2 - Аграрного університету (АУ) . Для участі в конкурсі на сцену жеребкуванням викликають 3 команди. Яка ймовірність, що серед них:а) всі команди з УШС;б) одна команда з УШС, а дві інші не з АУ?

Answer 1

Ответ:

а) Щоб кожен гість зайняв своє місце, імовірність цього для першого гостя дорівнює 1 (оскільки він може вибрати будь-яке з 12 місць), для другого гостя - 1/11 (оскільки залишилося 11 місць), для третього - 1/10 і так далі. Таким чином, загальна ймовірність дорівнює добутку цих ймовірностей:

1 * (1/11) * (1/10) * ... * (1/2) * (1/1) = 1/11! (11 факторіал, тобто 11 * 10 * 9 * ... * 2 * 1)

б) Щоб дві найважливіші персони виявилися поруч, ми можемо розглядати це як одну "супер-персону". Залишилося 11 місць для розсадки цієї супер-персони та інших 6 гостей. Таким чином, імовірність цього розташування дорівнює 11! (факторіал) - 6! (факторіал) / 12! (факторіал). Ми віднімаємо 6! для врахування всіх можливих розсадок інших гостей.

а) Щоб всі 3 команди були з УШС, вибираємо 3 команди з 4 можливих команд УШС, імовірність чого дорівнює C(4,3), де C - це комбінаторний коефіцієнт:

C(4,3) = 4! / (3!(4-3)!) = 4

Тепер вибираємо 3 команди з 10 загальних команд, імовірність чого дорівнює C(10,3):

C(10,3) = 10! / (3!(10-3)!) = 120

Отже, загальна імовірність дорівнює (4 / 120) = 1 / 30.

б) Для того щоб одна команда була з УШС, а дві інші - не з АУ, ми можемо розглядати це як дві окремі ситуації і враховувати їх окремо.

Ймовірність обрання 1 команди з УШС і 2 команд із залишку (8 команд, не з АУ):

C(4,1) * C(8,2) / C(10,3) = (4 * 28) / 120 = 14 / 15.

Отже, імовірність цієї ситуації дорівнює 14/15.

Answer 2

1. Виразимо загальну кількість способів, якими можуть розсідитися гості, як n(S) - 12!. a) Щоб кожен гість зайняв місце, приготоване спеціально для нього, кожен гість може обрати своє місце з 12 можливих. Тому кількість сприятливих подій для цієї умови, яку позначимо n(A), - 12!. Отже, ймовірність того, що кожен гість займе місце, приготоване спеціально для нього, визначається за формулою: P(A) = n(A) / n(S) = 12! / 12! = 1 Таким чином, ймовірність того, що кожен гість займе місце, приготоване спеціально для нього, становить 100%. b) Щоб дві найважливіші персони виявилися за столом поруч, спочатку ми можемо розсісти цих двох гостей на два поручні місця з 12 можливих. Залишилося розсадити інших гостей. Кількість способів, якими це можна зробити, можна розрахувати, помітивши, що вже два місця відводяться певним гостям. Тому кількість способів розсадки інших гостей дорівнює (10-2)!, розмноженому на 2!, оскільки двох найважливіших гостей ми уже розмістили. Тому кількість сприятливих подій для цієї умови, яку позначимо n(A), - 2! * (10-2)!. Отже, ймовірність того, що дві найважливіші персони виявляться за столом поруч, визначається за формулою: P(A) = n(A) / n(S) = (2! * (10-2)!) / 12! ≈ 0.1667 Таким чином, ймовірність того, що дві найважливіші персони виявляться за столом поруч, становить приблизно 16.67%. 2. Виразимо загальну кількість способів, якими можуть розподілити 3 команди на сцені, як n(S) - C(10,3) - кількість сполучень 10 елементів по 3. Виразимо кількість сприятливих подій для кожної умови і розрахуємо ймовірність. a) Всі команди з УШС. Кількість сприятливих подій, яку позначимо n(A), - C(4,3). Отже, ймовірність того, що всі команди будуть з УШС, визначається за формулою: P(A) = n(A) / n(S) = C(4,3) / C(10,3) = (4!/(3!(4-3)!)) / (10!/(3!(10-3)!)) = (4*3*2) / (10*9*8) = 0.1333 Таким чином, ймовірність того, що всі команди будуть з УШС, становить приблизно 13.33%. b) Одна команда з УШС, а дві інші не з АУ. Кількість сприятливих подій для цієї умови, яку позначимо n(A), - C(4,1) * C(6,2). Отже, ймовірність того, що одна команда буде з УШС, а дві інші - не з АУ, визначається за формулою: P(A) = n(A) / n(S) = (C(4,1) * C(6,2)) / C(10,3) = ((4!/(1!(4-1)!)) * (6!/(2!(6-2)!))) / (10!/(3!(10-3)!)) = (4*6*(5*4)/(1*2)) / (10*9*8) = 0.4 Таким чином, ймовірність того, що одна команда буде з УШС, а дві інші - не з АУ, становить 40%.