Question

Докажите неравенство 1) а) (x+4)(x-1)>(x-7)(x+10) b) a(a-6)>(a-3)^2 c) x(x-12)>=-36 2) a) (3b+1)^2/6>b b) (b+2)^2/4>=b+1 Помогите пожалуйста :_(

Answer 1

1. a)( x+4)(x-1) =0
x+4=0. x-1=0
x=-4. x=1
(x-7)(x+10)=0
x-7=0. x+10=0
x=7. x=-10
-4*1>7*(-10)
-4>-70
Неравенство доказано

Answer 2

Давайте разберемся с каждым из данных неравенств: 1) \(a(x+4)(x-1) > (x-7)(x+10)\) Для начала, давайте умножим правую и левую части неравенства: \[a(x+4)(x-1) > (x-7)(x+10)\] После умножения: \[a(x^2+3x-4) > x^2+3x-70\] Теперь выразим все члены на одной стороне неравенства: \[a(x^2+3x-4) - x^2 - 3x + 70 > 0\] Раскроем скобки в левой части: \[ax^2 + 3ax - 4a - x^2 - 3x + 70 > 0\] Теперь сгруппируем подобные члены: \[(ax^2 - x^2) + (3ax - 3x) + (70 - 4a) > 0\] \[x^2(a - 1) + 3x(a - 1) + (70 - 4a) > 0\] Теперь можно вынести общий множитель \(a - 1\) за скобку: \[(a - 1)(x^2 + 3x + 70 - 4a) > 0\] Теперь, чтобы решить это неравенство, нужно рассмотреть знаки множителей. Заметим, что коэффициент при \(x^2\) равен 1, что означает, что это парабола, направленная вверх. Мы можем найти ее вершину и определить, в каких интервалах она положительна. Для нахождения вершины параболы \(x^2 + 3x + 70 - 4a\), используем формулу вершины параболы: \(x = -\frac{b}{2a}\). В данном случае \(a = 1\) и \(b = 3\), поэтому: \[x = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2}\] Теперь найдем значение функции в этой точке: \[y = 1\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{2}\right) + 70 - 4a\] \[y = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 70 - 4a\] Упростим это: \[y = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + 70 - 4a\] \[y = \frac{-9}{4} + 70 - 4a\] \[y = 70 - \frac{9}{4} - 4a\] \[y = 70 - \frac{9}{4} - 4a\] \[y = \frac{281}{4} - 4a\] Теперь нам нужно понять, в каких интервалах функция \(x^2 + 3x + 70 - 4a\) положительна. Если вершина параболы находится выше оси X (то есть \(y > 0\)), то функция положительна в интервале вокруг вершины. Таким образом, нам нужно найти значения \(a\), при которых \(70 - \frac{9}{4} - 4a > 0\). \[70 - \frac{9}{4} - 4a > 0\] Теперь решим это неравенство относительно \(a\): \[-\frac{9}{4} - 4a < -70\] Теперь давайте разделим обе стороны на -1, но не забудьте поменять направление неравенства: \[\frac{9}{4} + 4a > 70\] Теперь выразим \(a\): \[4a > 70 - \frac{9}{4}\] \[4a > \frac{281}{4}\] Теперь поделим обе стороны на 4: \[a > \frac{281}{16}\] Итак, неравенство \(a(x+4)(x-1) > (x-7)(x+10)\) верно, когда \(a > \frac{281}{16}\). 2) \(a(a-6) > (a-3)^2\) Для начала умножим правую и левую стороны: \[a(a-6) > (a-3)^2\] Раскроем скобки: \[a^2 - 6a > a^2 - 6a + 9\] Заметим, что \(a^2\) и \(-6a\) встречаются и в левой, и в правой части неравенства и их можно сократить: \[-6a > 9\] Теперь разделим обе стороны на -6, поменяя направление неравенства: \[a < -\frac{9}{6}\] Упростим это: \[a < -\frac{3}{2}\] Итак, неравенство \(a(a-6) > (a-3)^2\) верно, когда \(a < -\frac{3}{2}\). 3) \(x(x-12) \geq -36\) Для начала, давайте умножим правую и левую части неравенства: \[x(x-12) \geq -36\] После умножения: \[x^2 - 12x \geq -36\] Теперь переносим все члены на одну сторону неравенства: \[x^2 - 12x + 36 \geq 0\] Теперь нам нужно решить это квадратное неравенство. Для нач