Question

Докажите что при любых значениях переменной верно неравенство a^2/a^4+1<=1/2

Answer 1

Находим область допустимых значений

а^4≠0;а≠0

Упрощаем выражение

1/а^2+1≦1/2

Переносим постоянную в правую часть и меняем ее знак

1/а^2≦-1/2

Утверждение ложно для любого а.Так как любое число возведенное в четную степень, положительное.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, рассмотрим два случая: 1. Пусть а = 0. В таком случае, оба выражения в неравенстве равны 0. Значит, неравенство выполняется. 2. Пусть а ≠ 0. Тогда мы можем упростить неравенство следующим образом: a^2/(a^4 + 1) ≤ 1/2 Умножим обе части неравенства на (a^4 + 1): a^2 ≤ (a^4 + 1)/2 Умножим обе части неравенства на 2: 2a^2 ≤ a^4 + 1 Вычитаем a^4 и вычитаем 2a^2 из обеих частей: 0 ≤ a^4 - 2a^2 + 1 Мы можем заметить, что выражение a^4 - 2a^2 + 1 является полным квадратом (a^2 - 1)^2. Тогда мы можем переписать неравенство следующим образом: 0 ≤ (a^2 - 1)^2 Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, то неравенство выполняется для всех значений а. Таким образом, мы доказали, что неравенство a^2/(a^4 + 1) ≤ 1/2 верно для любых значений переменной a.