Question

Помогите решить, пожалуйста. При якому значенні параметра n сума квадратів коренів рівняння: x^2-2nx+22n^2+3n=0 буде найбільшою?

Answer 1

Ответ: при n = -3/40

Объяснение:

За теоремою Вієта

x₁ + x₂ = 2n

x₁x₂ = 22n² + 3n

Розглянемо функцію: f(n) = x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (2n)² - 2(22n²+3n) = 4n² - 44n² - 6n = -40n² - 6n

Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вниз ⇒ точка вершини параболи досягає максимуму

n = - 6/[2*40] = -3/40

Answer 2

Для того чтобы найти значение параметра n, при котором сума квадратов корней решения уравнения будет наибольшей, нужно воспользоваться следующими знаниями: Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, сумма корней равна -b/a, а произведение корней равно c/a. В данном уравнении x^2 - 2nx + 22n^2 + 3n = 0, коэффициенты a, b и c равны: a = 1, b = -2n и c = 22n^2 + 3n. Сумма корней этого уравнения будет равна: x1 + x2 = -b/a = -(-2n)/1 = 2n. И наше задание - найти значение параметра n, при котором сумма квадратов корней будет наибольшей, то есть найти максимум функции f(n) = (x1 + x2)^2 = (2n)^2 = 4n^2. Для этого нужно найти экстремум функции (максимум или минимум) искомого значения, а именно стационарную точку. Для этого найдем первую производную этой функции: f'(n) = 8n. Затем находим корни уравнения f'(n) = 0: 8n = 0, n = 0. Это является стационарной точкой функции f(n). Теперь нужно выяснить, является ли эта точка максимумом или минимумом. Для этого берем вторую производную функции: f''(n) = 8. Так как f''(n) > 0, то это означает, что стационарная точка n = 0 является минимумом функции f(n). Таким образом, при значении параметра n = 0 сумма квадратов корней решения уравнения x^2 - 2nx + 22n^2 + 3n = 0 будет наибольшей.