Question

Решите уравнение: (а² - 6а + 5)х² - (а - 5)х = 0

Answer 1

Легко заметить, что выражение $a^2-6a+5=0$ хорошо раскладывается на множители. Для этого необходимо знать корни трехчлена, один из которых единица, так как сумма коэффициентов уравнения равна 0 (1-6+5=0), а второй корень равен частному свободного члена и коэффициента при квадрате, в данном случае 5. Тогда получаем, что $a^2-6a+5=(a-1)(a-5)$

Теперь можно решать исходное уравнение:

$(a^2-6a+5)x^2-(a-5)x=0 \Rightarrow (a-1)(a-5)x^2-(a-5)x=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow (a-5)\cdot x \cdot((a-1)x-1)=0 \Rightar$

Далее необходимо проанализировать, что происходит в данном уравнении:

При $a=5$ выражение слева зануляется независимо от $x$, поэтому вывод: при $a=5: \ x \in \mathbb{R}$

Далее, так же видно, что $x=0$ - корень данного уравнения независимо от значений  $a$.

Теперь проанализируем правую скобку: $\displaystyle x=\frac{1}{a-1}; \ a\neq 1$

При $a=1: \ (a-1)x-1=0-1=-1$, то скобка превращается просто в числовое выражение, которое на уравнение не влияет.

Собирая все, получим ответ:

При $a=1$ уравнение имеет 1 корень $x=0$

При $a\neq 1; \ a\neq 5$ уравнение имеет 2 корня $\displaystyle x=0; \ x=\frac{1}{a-1}$

При $a=5$ уравнение имеет бесконечное множество корней $x \in \mathbb{R}$

Answer 2

Для решения уравнения \(a^2 - 6a + 5)x^2 - (a - 5)x = 0\) мы можем воспользоваться методом факторизации. Давайте разберемся с этим уравнением: \(a^2 - 6a + 5\) можно разложить на множители: \(a^2 - 6a + 5 = (a - 5)(a - 1)\) Теперь у нас есть уравнение: \((a - 5)(a - 1)x^2 - (a - 5)x = 0\) Теперь мы видим, что у нас есть общий множитель \((a - 5)\), который можно вынести за скобки: \((a - 5)[(a - 1)x^2 - x] = 0\) Теперь у нас есть произведение двух множителей, и мы можем использовать свойство нулевого произведения: если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из этих чисел должно быть равно нулю. Таким образом, у нас есть два случая: 1. \(a - 5 = 0\) Из этого уравнения мы можем найти значение \(a\): \(a = 5\) 2. \((a - 1)x^2 - x = 0\) Теперь давайте решим это уравнение относительно \(x\): \((a - 1)x^2 - x = 0\) Подставим значение \(a = 5\): \((5 - 1)x^2 - x = 0\) \((4)x^2 - x = 0\) Теперь мы можем вынести общий множитель \(x\) и получим: \(x(4x - 1) = 0\) Используя свойство нулевого произведения: 1. \(x = 0\) 2. \(4x - 1 = 0\) Для второго случая решаем уравнение: \(4x - 1 = 0\) Добавляем 1 к обеим сторонам: \(4x = 1\) Делим обе стороны на 4: \(x = \frac{1}{4}\) Таким образом, у нас есть два набора решений: 1. \(a = 5\) и \(x = 0\) 2. \(a = 5\) и \(x = \frac{1}{4}\)