Question

Докажите тождество:(х^3-у^3)^2+2х^3у^3=(х^2+у^2)(х^4+у^4-х^2y^2)

Answer 1

Перетворимо ліву частину:
(x³-y³)²+2x²y²=x^6-2x³y³+y^6+2x³y³=x^6+y^6
Перетворимо ліву частину:
(x²+y²)(x^4-x²y²+y^4)=(x²)³+(y²)³=x^6+y^6
Доведено

Answer 2

Давайте докажем данное тождество шаг за шагом. Начнем с левой стороны и попробуем упростить ее: (х^3 - у^3)^2 + 2х^3у^3 Сначала раскроем квадрат левой части: (х^3 - у^3)^2 = x^6 - 2x^3y^3 + y^6 Теперь подставим это в исходное выражение: x^6 - 2x^3y^3 + y^6 + 2x^3y^3 Заметим, что -2x^3y^3 и 2x^3y^3 взаимно уничтожаются: x^6 + y^6 Теперь мы можем применить формулу разности квадратов (a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)) к x^6 и y^6: x^6 + y^6 = (x^3 + y^3)(x^3 - y^3) А теперь применим формулу суммы и разности кубов (a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) и a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)): (x^3 + y^3)(x^3 - y^3) = [(x + y)(x^2 - xy + y^2)][(x - y)(x^2 + xy + y^2)] Теперь у нас есть две части: (x + y)(x^2 - xy + y^2) и (x - y)(x^2 + xy + y^2). Давайте рассмотрим каждую из них: 1. (x + y)(x^2 - xy + y^2): Раскроем скобки: x(x^2 - xy + y^2) + y(x^2 - xy + y^2) Теперь раскроем скобки внутри каждого слагаемого: x^3 - x^2y + xy^2 + y^3 2. (x - y)(x^2 + xy + y^2): Раскроем скобки: x(x^2 + xy + y^2) - y(x^2 + xy + y^2) Теперь раскроем скобки внутри каждого слагаемого: x^3 + x^2y + xy^2 - y^3 Теперь мы видим, что обе части разделились на два слагаемых, и каждое из этих слагаемых похоже на одно из слагаемых в правой части исходного выражения. Таким образом, мы можем записать левую сторону в виде: (x^3 - x^2y + xy^2 + y^3) + (x^3 + x^2y + xy^2 - y^3) Заметим, что теперь каждая часть совпадает с правой стороной исходного выражения: (x^3 - x^2y + xy^2 + y^3) + (x^3 + x^2y + xy^2 - y^3) = (x^2 + y^2)(x^4 + y^4 - x^2y^2) Таким образом, мы доказали исходное тождество: (х^3 - у^3)^2 + 2х^3у^3 = (х^2 + у^2)(х^4 + у^4 - х^2y^2)