Question

!)Докажите что последняя ненулевая цифра числа 1999! четная. 2)какие простые числа могут быть делителями чисел вида 111..11? 3)докажите что число3999991 не является простым.

Answer 1

1) 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*....

2*5=10 - дает ноль и 10 дает ноль

1*3*4*6*7*8*9*.... отбросив все нули остаются четные множетели ЧТД

3)3999991=4000000-9=(2000-9)*(2000+9)=1991*2009 - 2 множетеля не равных 1 или самому числу

Answer 2

1) Чтобы найти последнюю ненулевую цифру числа 1999!, нужно найти остаток от деления 1999! на 10. Мы знаем, что 10 = 2 * 5, поэтому это означает, что нужно найти остаток от деления на 2 и 5.

Очевидно, что 1999! делится на 5, так как каждое пятое число является кратным 5. Таким образом, остаток от деления 1999! на 5 равен 0.

Чтобы найти остаток от деления 1999! на 2, посмотрим, сколько четных чисел (кратных 2) есть в последовательности от 1 до 1999. Поскольку четными являются числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 или 8, то каждое второе число в последовательности будет четным. В последовательности от 1 до 1999 есть 1999/2 = 999 четных чисел.

Таким образом, 1999! делится на 2^999 и на 5, но не делится на 2^1000.

Из свойства деления с остатком следует, что остаток от деления на 10 равен остатку от деления на 2 и 5.

Остаток от деления 1999! на 5 равен 0, поэтому остаток от деления 1999! на 10 также равен 0. Это означает, что последняя ненулевая цифра числа 1999! является четной.

2) Число вида 111...11 представляет собой сумму степеней 10. Например, число 111 = 1*10^2 + 1*10^1 + 1*10^0.

Мы знаем, что число 10 можно представить как 2*5. Таким образом, число 111 = 1*10^2 + 1*10^1 + 1*10^0 = 1*(2*5)^2 + 1*(2*5)^1 + 1*(2*5)^0 = 1*2^2*5^2 + 1*2*5^1 + 1*5^0.

Это равносильно выражению 111 = 1*2^2*5^2 + 1*2*5^1 + 1 = 10*(2^2*5^1 + 1) + 1 = 10*(20 + 1) + 1 = 201 + 1 = 202.

Таким образом, число вида 111...11 можно записать как 10*(2^у + 1) + 1, где у - количество единиц в числе. Если 2^у + 1 является простым числом, то оно может быть делителем числа вида 111...11.

Например, для числа 1111 (4 единицы) у = 4 и 2^4 + 1 = 16 + 1 = 17 - простое число. Следовательно, 17 является делителем числа 1111.

3) Докажем, что число 3999991 не является простым.

Используем критерий делимости числа на 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то само число делится на 3.

Сумма цифр числа 3999991 равна 3 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 49. Число 49 не делится на 3, поэтому число 3999991 также не делится на 3.

Таким образом, число 3999991 не является простым, так как оно не делится ни на 2, ни на 3.

Answer 3

1) Чтобы найти последнюю ненулевую цифру числа 1999!, нужно разложить его на простые множители и определить, какое из них имеет максимальную степень 2 или 5.

1999! = 1 * 2 * 3 * ... * 1999

Так как мы ищем последнюю ненулевую цифру, то нам необходимо знать, какое из чисел, от 1 до 1999, имеет максимальную степень 2 или 5 в своем разложении на простые множители.

Максимальная степень 2 и 5 в разложении числа на простые множители будет определяться количеством простых множителей 2 и 5 в этом числе.

Разложим каждое число от 1 до 1999 на простые множители и посчитаем количество двоек и пятерок в каждом разложении:

1: 2^0 * 5^0 (нет двоек и пятерок в разложении)
2: 2^1 * 5^0 (1 два и 0 пятерок)
3: 2^0 * 5^0 (нет двоек и пятерок)
4: 2^2 * 5^0 (2 два и 0 пятерок)
...
16: 2^4 * 5^0 (4 два и 0 пятерок)
...
32: 2^5 * 5^0 (5 двоек и 0 пятерок)
...
125: 2^0 * 5^3 (нет двоек и 3 пятерки)
...
256: 2^8 * 5^0 (8 двоек и 0 пятерок)
...
625: 2^0 * 5^4 (нет двоек и 4 пятерки)
...
1024: 2^10 * 5^0 (10 двоек и 0 пятерок)

Как видим, каждое число из промежутка от 1 до 1999, не считая кратных степеням 2 или 5, имеет в своем разложении на простые множители хотя бы одну двойку и хотя бы одну пятерку.

Таким образом, у всех чисел от 1 до 1999, включая 1999, есть в разложении хотя бы одна двойка и хотя бы одна пятерка. Так как двойка и пятерка дадут в произведении 10, то их количество в разложении числа будет больше или равно количеству цифр 10.

Следовательно, последняя ненулевая цифра числа 1999! будет четной.

2) Числа вида 111...11 могут быть представлены в виде (10^n - 1) / 9, где n - количество цифр 1 в числе.

(10^n - 1) / 9 = 11...11

Чтобы число вида 111...11 было простым, значение n должно делиться только на 1 и само число. Это возможно только для двух случаев:

a) n = 1, что дает число 11, которое является простым.
b) n = простое число, отличное от 2 и 5. Например, для n = 3, получим число 111, которое также является простым.

Таким образом, простые числа, которые могут быть делителями чисел вида 111...11, это 11 и простые числа, отличные от 2 и 5.

3) Чтобы доказать, что число 3999991 не является простым, можно попробовать найти его делители.

Проверим, делится ли число 3999991 на простые числа, начиная с 2 и заканчивая корнем из числа 3999991 (округленным в большую сторону).

При делении 3999991 на 2 получаем остаток 1.
При делении 3999991 на 3 получаем остаток 2.
При делении 3999991 на 5 получаем остаток 1.
...

При проведении дальнейших делений мы выясняем, что число 3999991 имеет остаток для всех простых чисел от 2 до 1999, включая корень из числа 3999991.

Таким образом, нет ни одного простого числа, которое бы делило число 3999991 без остатка.

Следовательно, число 3999991 не является простым.