Question

Коло з центром у середині основи рівнобедреного трикутника АВС доти- кається до його бічних сторін АВ і ВС і ділить відрізок АС на три рівні частини. Знайдіть радіус цього кола, якщо площа трикутника АВС дорівнює 9√2. А) 2Б) 2√2В) 2√3Г) 3Д) Інша відповідь​

Answer 1

Відповідь: R=2.

Пояснення:

один із способів.

Answer 2

Позначимо радіус кола як r.

Так як коло дотикається до сторін АВ і ВС, це означає, що точки дотику є серединами цих сторін. Тому, висота трикутника АВС спускається з вершини А і проходить через центр кола.

Розглянемо трикутник АВХ, де Х - точка дотику кола зі стороною ВС.

Висота трикутника АВХ поділить сторону АВ на дві рівні частини, адже коло дотикається до сторони АВ в її середині.

Так як коло також ділить відрізок АС на три рівні частини, це означає, що відрізок ХС повинен бути однаковою довжиною, як і відрізок ХА.

Отже, у трикутнику АВХ висота за співвідношенням 1:2:√3. Тобто висота АХ дорівнює половині висоти АВ, а висота ХВ дорівнює (√3/2) * ВС.

Оскільки трикутник АВС - рівнобедрений, тоді можемо побачити, що висотає АХ і ХВ будуть рівні. Тому можемо записати рівність:

АХ = (√3/2) * ВС

Також нам дано, що площа трикутника АВС дорівнює 9√2. Площа трикутника може бути обчислена за формулою:

Площа = (1/2) * основа * висота.

Тому ми маємо:

(1/2) * АВ * АХ = 9√2

АВ * АХ = 18√2

АВ * (√3/2) * ВС = 18√2

АВ * ВС = (36√2)/(√3)

Оскільки АВ = 2 * р , де р - радіус кола, ми отримуємо:

2 * р * ВС = (36√2)/(√3)

р * ВС = (18√2)/(√3)

р = (18√2)/(√3 * ВС)

За вимогою задачі, ми знаємо, що площа трикутника АВС дорівнює 9√2. Розділимо це на рівність для площі трикутника (1/2) * АВ * ВС:

9√2 = (1/2) * АВ * ВС

18√2 = АВ * ВС

Замінимо АВ * ВС на вираження, отримане раніше:

18√2 = (18√2)/(√3 * ВС)

Скасуємо спільний множник:

1 = 1/√3 * ВС

ВС = √3

Тепер підставимо значення ВС у вираз для р:

р = (18√2)/(√3 * √3)

р = (18√2)/3

р = 6√2/3

Скорочуємо вираз:

р = 2√2

Таким чином, радіус цього кола дорівнює 2√2. Відповідь: Б) 2√2.