Question

Исследовать функцию y=(e^x)/x

Answer 1

Ответ:

На листеке

Объяснение:

После символов

$\frac{ \infty }{ \infty }$

Применяется правило Лопиталя

Answer 2

Для исследования функции y = (e^x)/x мы можем провести следующие шаги:

1. Найдем область определения функции. В данном случае x не должно равняться нулю, поскольку в знаменателе есть x. Таким образом, допустимая область определения функции будет (-∞, 0) U (0, +∞).

2. Выясним, есть ли вертикальные асимптоты. Для этого рассмотрим предел функции при x стремящемся к положительной и отрицательной бесконечности:

- Предел при x → +∞: lim (e^x)/x, при x → +∞ равняется бесконечности. Это означает, что у функции есть вертикальная асимптота при x = +∞.
- Предел при x → -∞: lim (e^x)/x, при x → -∞ равняется 0. Это означает, что у функции нет вертикальной асимптоты при x = -∞.

3. Определим, есть ли горизонтальная асимптота. Для этого рассмотрим предел функции при x стремящемся к бесконечности:

lim (e^x)/x, при x → +∞, равняется бесконечности. Это означает, что у функции нет горизонтальной асимптоты.

4. Найдем точки пересечения с осями координат.
При x = 0 функция не определена, поскольку в знаменателе находится ноль. Однако, при стремлении х к 0 справа или слева в числителье всегда будет присутствовать экспонента e^x, которая не равняется нулю, и функция будет стремиться к плюс и минус бесконечности соответственно. Таким образом, график функции не пересекает ось OX.

5. Найдем производную функции. Производная функции y = (e^x)/x можно найти с использованием правила дифференцирования частного:
y' = (x * (e^x)' - (e^x) * 1) / x^2 = (x * e^x - e^x) / x^2 = (e^x * (x - 1))/x^2.

6. Построим график функции.
На графике функции y = (e^x)/x будет видно, что график имеет вертикальную асимптоту при x=0 и стремится к бесконечности при x → +∞. График также будет иметь наклонную асимптоту, которая определяется производной функции. Таким образом, мы можем наблюдать, что график функции y = (e^x)/x растет очень быстро при x → +∞, но намного медленнее при x → -∞.