Question

2x^2+4x^2-7x+1>=0 пришёл к такому выполняя 15 задание пробник, помогите дорешить

Answer 1

$2x^2+4x^2-7x+1\geq 0\; \; \Rightarrow \; \; \; 6x^2-7x+1\geq 0$

Здесь легко подобрать один корень квадратного трёхчлена:

х=1, так как 6*1-7*1+1=0 . А второй корень по теореме Виета:

$x_1\cdot x_2=1\cdot x_2=\frac{1}{6}\; \; \Rightarrow \; \; \; x_2=\frac{1}{6}\\\\6\, (x-1)(x-\frac{1}{6})\geq 0\\\\znaki:\; \; \; +++[\, \frac{1}{6}\, ]---[\, 1\, ]+++\\\\x\in (-\infty ,\frac{1}{6}\, ]\cup [\, 1,+\infty \, )$

Если же  условие было  $2x^3+4x^2-7x+1\geq 0$  , то один корень тоже подбираем аналогично (действительный корень - делитель свободного члена). Корнем будет х=1. Затем делим заданный многочлен нацело на (х-1), получим (2х²+6х-1), корни которого легко найти .

$2x^3+4x^2-7x+1=(x-1)(2x^2+6x-1)\\\\2x^2+6x-1=0\; ,\; \; D/4=3^2-2\cdot (-1)=9+2=11\\\\x_{1}=\frac{-3-\sqrt{11}}{2}\approx -3,16\; \; ,\; \; x_2=\frac{-3+\sqrt{11}}{2}\approx 0,16\\\\2x^3+4x^2-7x+1=2\, (x-1)(x-\frac{-3-\sqrt{11}}{2})(x-\frac{-3+\sqrt{11}}{2})\geq 0\\\\znaki:\; \; ---[-3,16]+++[0,16\, ]---[\, 1\, ]+++\\\\x\in [\frac{-3-\sqrt{11}}{2},\frac{-3+\sqrt{11}}{2}\, ]\cup [\, 1,+\infty \, )$

Answer 2

Для решения неравенства \(2x^2 + 4x^2 - 7x + 1 \geq 0\), мы сначала должны объединить подобные слагаемые и привести его к более простому виду: \(6x^2 - 7x + 1 \geq 0\). Теперь давайте решим это неравенство. Сначала найдем корни квадратного уравнения \(6x^2 - 7x + 1 = 0\), чтобы определить интервалы, на которых выражение принимает положительные и отрицательные значения. Мы можем воспользоваться дискриминантом для нахождения корней: Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где a = 6, b = -7, и c = 1. \(D = (-7)^2 - 4 * 6 * 1 = 49 - 24 = 25\). Дискриминант положителен, что означает, что у нас есть два корня: \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{12} = \frac{12}{12} = 1\), \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\). Теперь у нас есть две точки, где \(6x^2 - 7x + 1 = 0\), а именно \(x = 1\) и \(x = \frac{1}{6}\). Эти точки разбивают ось \(x\) на три интервала: 1. \(-\infty < x < \frac{1}{6}\) 2. \(\frac{1}{6} \leq x \leq 1\) 3. \(x > 1\) Теперь давайте определим знак выражения \(6x^2 - 7x + 1\) на каждом из этих интервалов. 1. Выберем любое число \(x_0\) из интервала \(-\infty < x < \frac{1}{6}\), например, \(x_0 = 0\). Подставим его в выражение: \(6x_0^2 - 7x_0 + 1 = 6(0)^2 - 7(0) + 1 = 1\). Таким образом, на интервале \(-\infty < x < \frac{1}{6}\) выражение \(6x^2 - 7x + 1\) положительно. 2. Теперь возьмем \(x_1\) из интервала \(\frac{1}{6} \leq x \leq 1\), например, \(x_1 = \frac{1}{2}\): \(6x_1^2 - 7x_1 + 1 = 6\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 7\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 6\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{7}{2} + 1 = \frac{3}{2} - \frac{7}{2} + 1 = -\frac{3}{2}\). Значит, на интервале \(\frac{1}{6} \leq x \leq 1\), выражение \(6x^2 - 7x + 1\) отрицательно. 3. Наконец, возьмем \(x_2\) из интервала \(x > 1\), например, \(x_2 = 2\): \(6x_2^2 - 7x_2 + 1 = 6(2)^2 - 7(2) + 1 = 24 - 14 + 1 = 11\). На интервале \(x > 1\), выражение \(6x^2 - 7x + 1\) снова положительно. Итак, мы видим, что на интервалах: 1. \(-\infty < x < \frac{1}{6}\) 3. \(x > 1\) выражение \(6x^2 - 7x + 1\) положительно, а на интервале \(\frac{1}{6} \leq x \leq 1\) оно отрицательно. Теперь мы можем записать ответ на неравенство \(6x^2 - 7x + 1 \geq 0\): \[x \in (-\infty, \frac{1}{6}) \cup (1, +\infty).\] Это означает, что корни неравенства находятся вне интервала \(\frac{1}{6} \leq x \leq 1\).