Question

Сумма трёх первых членов арифметической прогрессии равна -9.Если первое число увеличить на 11,а третье число увеличить на 1,то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найти сумму первых пяти членов арифметической прогрессии.

Answer 1

В общем, у нас есть две прогрессии:

a;a+d;a+2d, и сумма этих членов -9, то есть

a+a+d+a+2d = -9

3a+3d = -9

a+d=-3, заранее выразим d: d=-3-a

вторая прогрессия выглядит так:

a+11;a+d;a+d+1 и она геометрическая, по свойству можем сделать так:

$(a+d)^{2}$=(a+11)(a+2d+1)

подставим наше выражение:

9=(a+11)(a+2(-3-a)+1)

9 = (a+11)(-a-5)

получим после перемножения уравнение

$a^{2}$+16a+64=0, ну или $(a+8)^{2}$=0, т.е. a = -8, тогда d = -3 +8 = 5.

Ну и находим сумму: $\frac{-16+5*4}{2}$*5=10

Итого ответ 10

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом.

1. Пусть первый член арифметической прогрессии равен "a", а разность между членами прогрессии равна "d". Тогда сумма первых трех членов арифметической прогрессии будет равна:

Сумма первых трех членов = a + (a + d) + (a + 2d) = 3a + 3d

Из условия задачи мы знаем, что эта сумма равна -9, поэтому:

3a + 3d = -9

2. Согласно условию, если первый член увеличится на 11, а третий член увеличится на 1, то полученные три числа будут образовывать геометрическую прогрессию. Поэтому мы можем записать следующие уравнения:

a + 11, a + 2d, a + 2d + 1

Для геометрической прогрессии отношение любых двух соседних членов равно постоянной константе "r". Таким образом, мы можем записать:

(a + 2d) / (a + 11) = (a + 2d + 1) / (a + 2d)

3. Теперь давайте решим эту систему уравнений.

Сначала у нас есть уравнение: 3a + 3d = -9

Разделим это уравнение на 3: a + d = -3

4. Теперь рассмотрим уравнение для геометрической прогрессии: (a + 2d) / (a + 11) = (a + 2d + 1) / (a + 2d)

Умножим обе стороны на (a + 11)(a + 2d), чтобы избавиться от дробей: (a + 2d)(a + 2d + 1) = (a + 11)(a + 2d)

5. Раскроем скобки и упростим уравнение: a^2 + 4ad + 2d^2 + a + 2d = a^2 + 11a + 2ad + 22d

Заметим, что множители "a^2" и "a" сокращаются. Теперь у нас есть: 4ad + 2d^2 + 2d = 11a + 22d

6. Теперь, воспользуемся уравнением a + d = -3 (из пункта 3), чтобы выразить "a" через "d": a = -3 - d

7. Подставим "a" из уравнения 6 в уравнение 4: 4(-3 - d)d + 2d^2 + 2d = 11(-3 - d) + 22d

8. Раскроем скобки и упростим уравнение: -12d - 4d^2 + 2d^2 + 2d = -33 - 11d + 22d

9. Теперь объединим подобные члены: -d^2 - 7d = -33 + 11d

10. Переносим все члены в одну сторону: -d^2 - 7d - 11d + 33 = 0

11. Упростим дальше: -d^2 - 18d + 33 = 0

12. Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака перед "d^2": d^2 + 18d - 33 = 0

13. Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = 18^2 - 4 * 1 * (-33) = 324 + 132 = 456

Так как D > 0, у нас есть два корня: d1 = (-18 + √456) / 2 = (-18 + 6√19) / 2 = -9 + 3√19 d2 = (-18 - √456) / 2 = (-18 - 6√19) / 2 = -9 - 3√19

14. Теперь найдем "a" с помощью уравнения a + d = -3: a1 = -3 - d1 = -3 - (-9 + 3√19) = 9 - 3√19 a2 = -3 - d2 = -3 - (-9 - 3√19) = 6 + 3√19

Теперь у нас есть две пары значений "a" и "d", которые удовлетворяют условиям задачи:

Пара 1: a1 = 9 - 3√19, d1 = -9 + 3√19 Пара 2: a2 = 6 + 3√19, d2 = -9 - 3√19

15. Теперь найдем сумму первых пяти членов арифметической прогрессии. Сумма членов арифметической прогрессии можно выразить формулой:

Сумма первых n членов = n/2 * [2a + (n - 1)d]

Для n = 5 и каждой из пар значений "a" и "d", мы можем вычислить сумму:

Сумма первых пяти членов с Парой 1: S1 = 5/2 * [2(9 - 3√19) + (5 - 1)(-9 + 3√19)]

Сумма первых пяти членов с Парой 2: S2 = 5/2 * [2(6 + 3√19) + (5 -