Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями 1) y=-x^2+1; y=-x+1 2) y=-x^2+1; y=x+1.

Answer 1

Fhgfyggtfgggffggffgf

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, нужно найти точки их пересечения, а затем использовать метод интегрирования для вычисления площади между кривыми.

Для начала найдем точки пересечения данных кривых. Поставим уравнения кривых в систему уравнений и решим ее:

1) \(y = -x^2 + 1\) 2) \(y = -x + 1\)

Решим систему уравнений, приравняв выражения для y:

\(-x^2 + 1 = -x + 1\)

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\(x^2 - x = 0\)

Факторизуем это уравнение:

\(x(x - 1) = 0\)

Таким образом, \(x = 0\) или \(x = 1\). Когда \(x = 0\), из первого уравнения получаем \(y = 1\), и когда \(x = 1\), из второго уравнения получаем \(y = 0\). Таким образом, точки пересечения кривых - (0, 1) и (1, 0).

Теперь у нас есть три области между кривыми: одна между \(x = 0\) и \(x = 1\), вторая под кривой \(y = -x^2 + 1\) и над кривой \(y = -x + 1\). Для вычисления площади каждой из этих областей воспользуемся методом интегрирования.

1. Площадь между \(x = 0\) и \(x = 1\): \[S_1 = \int_0^1 (-x^2 + 1) - (-x + 1) dx\] \[S_1 = \int_0^1 (-x^2 + x) dx\] \[S_1 = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right]_0^1\] \[S_1 = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\]

2. Площадь под кривой \(y = -x^2 + 1\): \[S_2 = \int_0^1 (-x^2 + 1) dx\] \[S_2 = \left[-\frac{x^3}{3} + x\right]_0^1\] \[S_2 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\]

3. Площадь над кривой \(y = -x + 1\): \[S_3 = \int_0^1 (-x + 1) dx\] \[S_3 = \left[-\frac{x^2}{2} + x\right]_0^1\] \[S_3 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}\]

Теперь сложим найденные площади: \(S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{3}\).

Итак, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна \(\frac{5}{3}\) квадратных единиц.