Question

Доказать тождество: (1+ctg^2a+ 1/ctg^2a)* sin^2a*cos^2a=1

Answer 1

(1/sin^2a+sin^2a/cos^2a)*sin^2a*cos^2a=cos^2a+sin^2a=1

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы начнем с левой стороны выражения и попробуем упростить его с использованием тригонометрических идентичностей. Давайте посмотрим, как можно это сделать:

Исходное выражение: (1 + ctg^2a + 1/ctg^2a) * sin^2a * cos^2a

Для начала, давайте выразим ctg^2a как 1/tan^2a, где tan(a) - тангенс угла a. Это позволит нам упростить выражение:

(1 + (1/tan^2a) + tan^2a) * sin^2a * cos^2a

Теперь воспользуемся тригонометрической идентичностью для тангенса:

tan^2a + 1 = sec^2a

Таким образом, мы можем заменить tan^2a + 1 на sec^2a:

(1 + sec^2a + (1/tan^2a)) * sin^2a * cos^2a

Теперь у нас есть следующие выражения:

sec^2a = 1 + tan^2a 1/tan^2a = cot^2a

Заменим их в исходном выражении:

(1 + (1 + tan^2a) + cot^2a) * sin^2a * cos^2a

Теперь у нас есть следующие выражения:

(1 + 1 + tan^2a + cot^2a) * sin^2a * cos^2a

Теперь объединим числители (1 + 1 = 2) и заметим, что tan^2a + cot^2a = 1 (это тождество):

(2 + 1) * sin^2a * cos^2a

Теперь у нас есть:

3 * sin^2a * cos^2a

И, наконец, мы можем воспользоваться тождеством синуса двойного угла:

sin^2(2a) = 1/2 - (1/2) * cos(4a)

Так как у нас есть sin^2a * cos^2a в исходном выражении, мы можем использовать это тождество:

sin^2a * cos^2a = (1/4) * sin^2(2a)

Теперь вернемся к нашему выражению:

3 * sin^2a * cos^2a = 3 * (1/4) * sin^2(2a)

И теперь у нас есть:

(3/4) * sin^2(2a)

Таким образом, мы доказали, что левая сторона исходного выражения равна (3/4) * sin^2(2a).

Итак, тождество доказано:

(1 + ctg^2a + 1/ctg^2a) * sin^2a * cos^2a = (3/4) * sin^2(2a)