Question

Решите неравенство: x(x^2+4x+4)√x^2-1≤0

Answer 1

$x(x^2+4x+4) \sqrt{x^2-1} \leq 0$
или
$x(x+2)^2 \sqrt{x^2-1} \leq 0$
пронятно, что $x^2-1 \geq 0$ иначе под корнем окажется отрицательное число. отсюда условие $x \leq -1$ или $x \geq 1$
далее, функция $x(x+2)^2 \sqrt{x^2-1}$ обращается в 0 в следующих точках -2, -1, 0, 1. именна там она может менять знак. рассмотрим эти интервалы (см. рис. )
 x ∈ (-∞;-2) - функция отрицательна
 x ∈ (-2;-1) - функция тоже отрицательна
x ∈ (-1;-1) - функция неопределена
 x ∈ (1;∞) - функция положительна

ответ: x ∈ (-∞;-1] и  x=1

Answer 2

Для решения данного неравенства, начнем с выражения x(x^2+4x+4)√x^2-1 и анализа его знаков. Для этого давайте разложим выражение и определим, когда оно положительно, отрицательно или равно нулю.

Начнем с разложения выражения:

x(x^2+4x+4)√x^2-1 = x(x+2)^2√(x-1)(x+1).

Теперь определим знак каждого из множителей:

1. Множитель x: Этот множитель положителен, если x > 0, и отрицателен, если x < 0.

2. Множитель (x+2)^2: Этот множитель положителен для всех действительных значений x, так как квадрат всегда положителен.

3. Множитель √(x-1)(x+1): Этот множитель положителен, если x находится в интервале (-∞, -1) или (1, ∞) и отрицателен, если x находится в интервале (-1, 1).

Теперь объединим эти знаки вместе, чтобы определить знак всего выражения:

- Если x > 0 (положительное x), то выражение положительно. - Если x < -2 (x сильно меньше -2), то выражение отрицательно. - Если -2 < x < -1 (x находится между -2 и -1), то выражение положительно. - Если -1 < x < 1 (x находится между -1 и 1), то выражение отрицательно. - Если x > 1 (положительное x), то выражение положительно.

Теперь мы знаем, когда данное выражение положительно и когда отрицательно. Чтобы найти значения x, удовлетворяющие неравенству x(x^2+4x+4)√x^2-1 ≤ 0, мы ищем значения x, для которых это выражение меньше или равно нулю.

Значения x, при которых выражение меньше или равно нулю, находятся в интервалах, где оно отрицательно:

-2 < x < -1 (отрицательное значение) 0 ≤ x ≤ 1 (включая ноль)

Итак, решение неравенства x(x^2+4x+4)√x^2-1 ≤ 0: -2 < x ≤ -1 и 0 ≤ x ≤ 1.