Question

Существуют ли такие натуральные a и b, что (a+b)(3a-b)=6

Answer 1

Уравнение равносильно совокупности систем:

{ a + b = 2      или     { a + b = 3            или     { a + b = 6 
{ 3а - b = 3                { 3а - b =2                       { 3а - b =1

{ a= 2 - b                    { a= 3 - b                        { a= 6 - b     
{ 3(2 - b) - b = 3          { 3(3 - b) - b = 2              { 3(6 - b) - b = 1 

6 - 3b - b = 3                9 - 3b - b = 2                 18 - 3b - b = 1                
- 4b = -3                       - 4b = -7                       - 4b = -17 
b = 3/4                             b = 7/4                      b = 17/4
( не натуральное)       ( не натуральное)        ( не натуральное)

ОТВЕТ:   не существуют.

Answer 2

Если а и b натуральные, то их сумма больше либо равна 2, а 3a-b принимает целые значения. Произведение натурального на целое даст 6 только если это целое положительно, значит 3а-b тоже натуральное число. Воможны лишь три варианта произведения, которые дадут шесть (четвертый невозможен, т.к. a+b>=2): 1) a+b=2, 3a-b=3. Сложив эти уравнения получим, что 4а=5; a=5/4 - не натуральное число. 2) a+b=3; 3a-b=2. Складываем, и опять 4а=5 - не подходит. 3) a+b=6;3a-b=1. Складываем, 4а=7; a=7/4 - не натуральное. Значит, подходящих натуральных а и b нет.

Answer 3

Давайте рассмотрим уравнение:

(a + b)(3a - b) = 6

Раскроем скобки:

3a^2 - ab + 3ab - b^2 = 6

Упростим:

3a^2 + 2ab - b^2 = 6

Теперь выразим одну переменную через другую. Допустим, мы хотим выразить 'b' через 'a':

3a^2 + 2ab - b^2 = 6

2ab = 6 - 3a^2 + b^2

b(2a - b) = 6 - 3a^2

b = (6 - 3a^2)/(2a - b)

Теперь мы видим, что 'b' входит в правую часть уравнения, и это создает проблему. Похоже, что не существует таких натуральных 'a' и 'b', которые бы удовлетворяли данному уравнению, так как деление на 'b' в правой части уравнения может привести к бесконечному количеству значений, что делает решение неоднозначным.