Question

Вычислить: (cos 75 град - sin 75 град) в квадрате tg п/8 делить на 1-tg^2 п/8

Answer 1

1)  (cos75° - sin75°)² = cos²75° - 2sin75°cos75° + cos²75° = 1 - 2sin(2*75°) =
= 1 - 2sin(180° - 30°) 1 - 2*sin30° = 1 - 2*(1/2) = 1 - 1 = 0
2)  tg(п/8) / (1 - tg²(п/8)) = (1/2)* [2 tg(п/8) / (1 - tg²(п/8))] = (1/2)*tg2*(π/8)) =
= (1/2)*tg(π/4) = (1/2)*1 = 1/2

Answer 2

Давайте разберемся с этим выражением по частям.

1. Начнем с $\cos(75^\circ)$ и $\sin(75^\circ)$:

Известно, что $\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ)$, а также $\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ)$. Мы можем использовать формулу сложения для косинуса и синуса:

$\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$

Таким образом,

$\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)$

Используя значения $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Теперь можно вычислить значение $\cos(75^\circ)$.

2. Теперь давайте вычислим $\sin(75^\circ)$, используя аналогичный метод:

$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)$

Подставляя известные значения, получаем:

$\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Теперь можно вычислить значение $\sin(75^\circ)$.

3. Теперь вычислим $\tan\left(\frac{\pi}{8}\right)$. Известно, что $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$, а значит, $\tan\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} - 1$.

4. И, наконец, $1 - \tan^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$: