Question

Докажите, что касательная к графику функции y=e^(x^3-x) в точке x=1 паралельна прямой y=2x+3

Answer 1

По определению, прямые параллельны, когда их коэффициенты равны. Тогда, если y'(1) = 2, то касательная  к графику функции y=e^(x^3-x) в точке x=1 паралельна прямой y=2x+3. 
Найдем y'(1):
$y'=e^{x^3-x}*(3x^{2}-1)$
$y'(1)=e^{0}*(3-1)=1*2=2$
Следовательно касательная параллельна прямой y=2x+3

Answer 2

Для доказательства, что касательная к графику функции y=e^(x^3-x) в точке x=1 параллельна прямой y=2x+3, нам нужно показать, что производная функции e^(x^3-x) в точке x=1 равна 2, так как коэффициент наклона прямой равен 2.

Сначала найдем производную функции y=e^(x^3-x) с помощью правила дифференцирования сложной функции:

y = e^(x^3-x)

Используя правило цепочки, находим производную:

y' = d/dx[e^(x^3-x)] = e^(x^3-x) * d/dx(x^3-x)

Теперь найдем производную x^3-x:

d/dx(x^3-x) = 3x^2 - 1

Теперь подставим это значение обратно в нашу производную:

y' = e^(x^3-x) * (3x^2 - 1)

Теперь вычислим значение производной в точке x=1:

y'(1) = e^(1^3-1) * (3(1)^2 - 1) = e^0 * (3 - 1) = 1 * 2 = 2

Таким образом, производная функции e^(x^3-x) в точке x=1 равна 2. Это означает, что касательная к графику этой функции в точке x=1 имеет наклон 2, что совпадает с наклоном прямой y=2x+3.

Следовательно, касательная к графику функции y=e^(x^3-x) в точке x=1 параллельна прямой y=2x+3.