Question

Докажите, что многочлен 2xy-x в квадр.-y в квадр.-z в квадр принимает неположительные значения при любых значениях x, y и z.

Answer 1

$2xy-x^2-y^2-z^2=-(x^2-2xy+y^2+z^2)=-((x-y)^2+z^2)$
Выражение в скобках неотрицательно, тогда всё выражение неположительно

Answer 2

Для доказательства, что многочлен $2xy - x^2 - y^2 - z^2$ принимает неположительные значения при любых значениях $x$, $y$ и $z$, мы можем воспользоваться методом анализа многочленов.

Сначала, давайте разложим этот многочлен:

$2xy - x^2 - y^2 - z^2 = -(x^2 + y^2 + z^2) + 2xy$

Теперь, рассмотрим сумму $x^2 + y^2 + z^2$. Эта сумма представляет собой квадрат расстояния от точки с координатами $(x, y, z)$ до начала координат, так как это сумма квадратов координат в трех измерениях. Это значит, что $x^2 + y^2 + z^2 \geq 0$ для любых значений $x$, $y$ и $z$.

Теперь вернемся к нашему исходному многочлену:

$2xy - x^2 - y^2 - z^2 = -(x^2 + y^2 + z^2) + 2xy$

Поскольку $x^2 + y^2 + z^2 \geq 0$, то $- (x^2 + y^2 + z^2) \leq 0$. И так как $2xy$ также может быть только неположительным (или равным нулю), то и вся сумма $- (x^2 + y^2 + z^2) + 2xy$ также не превысит ноль, и будет неположительной.

Следовательно, многочлен $2xy - x^2 - y^2 - z^2$ действительно принимает неположительные значения при любых значениях $x$, $y$ и $z$.