Question

F1(x)=x⁴, f2(x)=√x a) Найдите f1(f1(x)). б)Найдите f2(f2(x)). в) Решите уравнение f2(f1(x))=f1(f2(x)). Решите пожалуйста.

Answer 1

Ответ:

а) $f_1(f_1(x))=x^{16}$

б) $f_2(f_2(x))=\sqrt[4]{x}$

в) $x\geqslant 0$

Решение:

Рассмотрим функции:

$f_1(x)=x^4;\ f_2(x)=\sqrt{x}$

Составим сложные функции:

$f_1(f_1(x))=(f_1(x))^4=(x^4)^4=x^{4\cdot4}=\boxed{x^{16}}$

$f_2(f_2(x))=\sqrt{f_2(x)} =\sqrt{\sqrt{x} } =\sqrt[2\cdot2]{x} =\boxed{\sqrt[4]{x} }$

Составим и решим уравнение:

$f_2(f_1(x))=f_1(f_2(x))$

$\sqrt{f_1(x)} =(f_2(x))^4$

$\sqrt{x^4} =(\sqrt{x} )^4$

Отметим ОДЗ: $x\geqslant 0$.

Учитывая ОДЗ, упростим:

$x^2 =x^2$

Получено верное равенство, которое выполняется при любых $x$ из области допустимых значений. Таким образом, ответом является ОДЗ:

$\boxed{x\geqslant 0}$

Элементы теории:

Некоторые свойства степеней и корней:

$(a^m)^n=a^{mn}$

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a} } =\sqrt[mn]{a}$

Answer 2

Давайте по очереди решим каждый из ваших вопросов:

a) Найдите f1(f1(x)):

Сначала вычислим f1(x) и подставим его в f1:

f1(x) = x^4

Теперь подставим x^4 в f1(x):

f1(f1(x)) = (x^4)^4 = x^16

Таким образом, f1(f1(x)) = x^16.

b) Найдите f2(f2(x)):

Сначала вычислим f2(x) и подставим его в f2:

f2(x) = √x

Теперь подставим √x в f2(x):

f2(f2(x)) = √(√x)

Теперь возьмем корень из корня:

f2(f2(x)) = x^(1/4)

Таким образом, f2(f2(x)) = x^(1/4).

в) Решите уравнение f2(f1(x)) = f1(f2(x)):

Мы уже знаем, что f2(f1(x)) = x^(1/4) и f1(f2(x)) = x^16. Теперь мы можем записать уравнение:

x^(1/4) = x^16

Для того чтобы решить это уравнение, сравним экспоненты:

1/4 = 16

Это уравнение не имеет решения, так как 1/4 и 16 не равны. Таким образом, уравнение f2(f1(x)) = f1(f2(x)) не имеет решения.