Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной ЛИНИЯМИ y=4-x^2, y=4-2х.​

Answer 1

Ответ:     4/3 кв.ед.

Объяснение:

Строим графики функций   y=4-x^2, y=4-2х.​  (См. скриншот)

S(AmBn) = ∫ₐᵇf₁(x)dx - ∫ₐᵇf₂(x)dx;

Пределы интегрирования a=0;  b=2.

f₁(x) = 4-x^2;

f₂(x) = 4-2х.

S(AmBn)=∫₀²(4-x^2 - 4+2х)dx = ∫₀²(2x-x^2)dx = 2∫₀²(x)dx - ∫₀²(x^2)dx =

= 2(x²/2)|₀² - 1/3(x³)|₀² = (2²-0²) - 1/3(2³-0³) = 4-8/3 = 4/3 кв.ед.

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y = 4 - x^2 и y = 4 - 2x, мы должны найти точки их пересечения, а затем найти интеграл разности между ними. Пересечение кривых будет представлять собой граници фигуры. Найдем точки пересечения:

Сначала приравняем два уравнения, чтобы найти x:

4 - x^2 = 4 - 2x

Теперь выразим x:

x^2 - 2x = 0

x(x - 2) = 0

x = 0 и x = 2

Теперь мы знаем, что точки пересечения находятся в x = 0 и x = 2. Далее нам нужно найти соответствующие значения y для этих x, используя исходные уравнения:

Для y = 4 - x^2: При x = 0: y = 4 - 0 = 4 При x = 2: y = 4 - 2^2 = 4 - 4 = 0

Для y = 4 - 2x: При x = 0: y = 4 - 2 * 0 = 4 При x = 2: y = 4 - 2 * 2 = 4 - 4 = 0

Теперь у нас есть точки пересечения: (0, 4) и (2, 0). Фигура ограничена этими точками. Чтобы найти площадь фигуры, мы можем вычислить интеграл разности между кривыми:

S = ∫[0 to 2] (4 - 2x - (4 - x^2)) dx

S = ∫[0 to 2] (x^2 - 2x) dx

S = [x^3/3 - x^2] from 0 to 2

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

S = [(2^3/3 - 2^2) - (0 - 0)]

S = [(8/3 - 4) - 0]

S = (8/3 - 12/3)

S = (-4/3) квадратных единиц

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 4 - x^2 и y = 4 - 2x, равна 4/3 квадратных единиц.