Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^3-x ; y=0; x≥0

Answer 1

Ответ:

1/4кв.ед.

Объяснение:

сперва находим экстремум через производную 3Х²-1 =0 ,

Х=±√3/3 ( 1/√3 *√3 верх и низ)

Значит в точке +√3/3 -минимум. Вторая производная в этой точке положительная.

Значит площадь ограничена осью Х сверху и функцией снизу в правой полуплоскости. Точки нуля функции 0 и 1

Значит Интеграл от0 до 1 ∫₀¹(0-x^3+x)dх = - 1⁴/4 +1²/2-0=1/4

Answer 2

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нужно найти точки их пересечения и интегрировать функцию, описывающую кривую, между этими точками.

Для начала найдем точки пересечения. Поставим уравнение первой функции равным нулю и решим его: y = x^3 - x 0 = x^3 - x x(x^2 - 1) = 0 Из этого уравнения получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 1.

Теперь найдем значения функции y для этих значений x: y(0) = 0^3 - 0 = 0 y(1) = 1^3 - 1 = 0

Таким образом, точки пересечения находятся в точках (0,0) и (1,0).

Теперь найдем площадь фигуры между графиком функции и осью OX. Для этого воспользуемся интегралом:

S = ∫[a,b] f(x)dx,

где [a,b] - интервал между точками пересечения (в данном случае [0,1]).

f(x) - функция, описывающая кривую, в данном случае это y = x^3 - x.

Таким образом, площадь фигуры равна

S = ∫[0,1] (x^3 - x)dx = ∫[0,1] x^3dx - ∫[0,1] xdx.

Вычислим интегралы по отдельности:

∫[0,1] x^3dx = (1/4)x^4 |[0,1] = (1/4)1^4 - (1/4)0^4 = 1/4 - 0 = 1/4,

∫[0,1] xdx = (1/2)x^2 |[0,1] = (1/2)1^2 - (1/2)0^2 = 1/2 - 0 = 1/2.

Следовательно, площадь фигуры равна:

S = 1/4 - 1/2 = 1/4 - 2/4 = -1/4.

Однако площадь не может быть отрицательной, поэтому мы можем сделать вывод, что площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна 1/4.