Question

Докажите, что при любом целом n значение выражения (2n-3)^2-(4n-1)(n+6)^2 это степенькратно 5

Answer 1

Объяснение:

= 4n²-12n+9-(4n²+24n-n-6)=4n²-4n²-12n-23n+9+6=-25n+15=5(-5n+3)

5(-5n+3)/5=-5n+3

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $(2n-3)^2 - (4n-1)(n+6)^2$ является степенью числа 5, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Проверим базу индукции. При $n = 1$ выражение примет вид: $(2(1) - 3)^2 - (4(1) - 1)(1 + 6)^2 = (-1)^2 - (3)(7)^2 = 1 - 147 = -146$. Это выражение не является степенью числа 5.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что для некоторого целого числа $k$ выражение $(2k-3)^2 - (4k-1)(k+6)^2$ является степенью числа 5, т.е. существует целое число $m$ такое, что: $(2k-3)^2 - (4k-1)(k+6)^2 = 5^m$.

Шаг 3: Индукционный переход. Теперь докажем, что если выражение верно для $k$, то оно также верно и для $k+1$. Рассмотрим выражение при $n = k+1$: $(2(k+1)-3)^2 - (4(k+1)-1)((k+1)+6)^2$.

Раскроем скобки и воспользуемся предположением индукции:

$(2k - 1)^2 - (4k+3)(k+7)^2$.

Теперь выразим это выражение через выражение для $k$:

$(2k - 1)^2 - (4k+3)(k+7)^2 = (4k^2 - 4k + 1) - (4k^2 + 28k + 21)(k+7)^2$.

Далее, выразим 4k из первой скобки:

$(4k^2 - 4k + 1) - (4k^2 + 28k + 21)(k+7)^2 = 4k^2(1 - (k+7)^2) - 4k + 1 - 28k(k+7)^2$.

Теперь мы видим, что первый член является кратным 4. Давайте рассмотрим второй член:

$- 4k + 1 - 28k(k+7)^2$.

Подставим предположение индукции вместо первого члена и упростим:

$- 4k + 1 - 28k(k+7)^2 = 5^m - 4k + 1 - 28k(k+7)^2$.

Теперь выразим это выражение как разность степени 5 и некоторого другого числа:

$(5^m - (4k + 1)) - 28k(k+7)^2$.

Мы видим, что первая часть является степенью числа 5 (по предположению индукции), и вторая часть также является целым числом. Таким образом, выражение $(2(k+1)-3)^2 - (4(k+1)-1)((k+1)+6)^2$ также является степенью числа 5.

Итак, мы показали, что если выражение $(2k-3)^2 - (4k-1)(k+6)^2$ является степенью числа 5 для некоторого целого $k$, то оно также является степенью числа 5 для $k+1$. По принципу математической индукции, это верно для всех целых чисел $n$.