Question

Напишите уравнение касательной к графику функции y=x ln 0,5x, проведенной в точке с абсциссой x0=2

Answer 1

Ответ: y=x-2

Объяснение: 1)Уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке х₀ имеет вид: у= f(x₀) +f'(x₀)(x-x₀)       2) f(x₀)=2·ln1= 2·0=0                  3) f'(x)=ln(0,5x) +x·(ln0,5x)'=ln(0,5x) +x· (1/0,5x) ·0,5 = ln(0,5x) +1                                           4)f'(x₀) =f'(2)= ln1+1 =0+1=1  5)Уравнение касательной y=0+1(x-2) = x-2

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной к графику функции \(y = x \ln(0.5x)\), проведенной в точке с абсциссой \(x_0 = 2\), мы будем использовать производную функции. Уравнение касательной имеет следующий вид:

\[y - y_0 = m(x - x_0),\]

где \((x_0, y_0)\) - точка касания касательной и \(m\) - угловой коэффициент касательной.

1. Начнем с нахождения производной функции \(y = x \ln(0.5x)\):

\[y = x \ln(0.5x).\]

Для нахождения производной этой функции, мы будем использовать правило производной произведения. Для упрощения, воспользуемся свойством логарифма \(\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)\):

\[y = x \left(\ln(x) + \ln(0.5)\right).\]

Теперь возьмем производную с учетом этой формы:

\[ \frac{dy}{dx} = x \frac{d}{dx}\left(\ln(x) + \ln(0.5)\right). \]

Производная логарифма \(\ln(x)\) равна \(\frac{1}{x}\), поэтому:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \cdot x + 0 = 1. \]

Теперь у нас есть производная функции \(y\) по \(x\), которая равна 1. Это означает, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке \((x_0, y_0)\) равен 1.

2. Теперь нам нужно найти значение функции в точке \((x_0, y_0)\):

\[y_0 = x_0 \ln(0.5x_0) = 2 \ln(0.5 \cdot 2) = 2 \ln(1) = 2 \cdot 0 = 0.\]

Таким образом, точка касания касательной и графика функции - \((2, 0)\).

3. Теперь у нас есть угловой коэффициент \(m = 1\) и точка \((x_0, y_0) = (2, 0)\). Мы можем записать уравнение касательной:

\[y - 0 = 1(x - 2).\]

И упростить его:

\[y = x - 2.\]

Это уравнение является уравнением касательной к графику функции \(y = x \ln(0.5x)\) в точке \((2, 0)\.