Question

Найти точку минимума функции y=x√x-24x+1

Answer 1

Ответ:

(256; -2047)

Объяснение:

y = x√x - 24x + 1 = x^(3/2) - 24x + 1

Точка минимума (или максимума) - это точка, в которой производная функции равна 0.

y' = 3/2*x^(1/2) - 24 = 3√x/2 - 24 = 0

3√x/2 = 24

√x = 24*2/3 = 16

x = 256

y(256) = 256*√256 - 24*256 + 1 = 256*16 - 256*24 + 1 = -2047

Посчитано в уме!

Answer 2

Для поиска точки минимума функции y = x√x - 24x + 1, нам нужно найти производную функции и найти её нули. Точка, в которой производная равна нулю, может быть потенциальной точкой минимума. Затем мы проверим, является ли это действительно точкой минимума, используя вторую производную.

1. Найдем производную функции y по x: y'(x) = d/dx (x√x - 24x + 1)

Для этого используем правила дифференцирования:

y'(x) = (1/2)√x + x * (1/2) * x^(-1/2) - 24

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

   (1/2)√x + x * (1/2) * x^(-1/2) - 24 = 0

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

√x + x * x^(-1/2) - 48 = 0

3. Теперь упростим уравнение:

   √x + x^(1/2 - 1) - 48 = 0 √x + x^(-1/2) - 48 = 0

4. Возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

   x + 1 - 48x = 0

5. Теперь решим уравнение относительно x:

   -47x + 1 = 0 -47x = -1 x = 1/47

Теперь у нас есть значение x, при котором производная равна нулю. Чтобы определить, является ли это точкой минимума, нам нужно проанализировать вторую производную.

6. Найдем вторую производную:

   y''(x) = d^2/dx^2 (x√x - 24x + 1)

Используя правила дифференцирования, найдем вторую производную:

y''(x) = (1/2) * x^(-1/2) + x * (-1/4) * x^(-3/2)

y''(1/47) = (1/2) * (1/√(47)) - (1/4) * (1/47^3)

Подставим x = 1/47 в уравнение:

y''(1/47) = (1/2) * (1/√(47)) - (1/4) * (1/47^3)

Этот результат должен быть положительным, чтобы указывать на точку минимума. Если это так, то точка x = 1/47 - это точка минимума функции y = x√x - 24x + 1.