Question

Доказать неравенство: 2х^2-4ху+4у^2+6х+9>=0

Answer 1

$2x^2-4xy+6x+9+4y^2 \geq 0\\ 2x^2+2x(3-2y)+9+4y^2 \geq 0\\ 2(x+(1.5-y))^2+(-(2y^2-6y+4.5)+9+4y^2) \geq 0\\ 2(x+(1.5-y))^2+2(y+1.5)^2 \geq 0\\ 2(x-y+1.5)^2+2(y+1.5)^2 \geq 0$

Левая часть выражения будет иметь положительное значение.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Решение смотри на фотографии

Answer 3

Для доказательства данного неравенства, мы можем использовать метод завершения квадрата или анализ дискриминанта. Давайте рассмотрим оба подхода.

Метод завершения квадрата:

1. Рассмотрим выражение: 2x^2 - 4xy + 4y^2 + 6x + 9.

2. Заметим, что первые три члена (2x^2 - 4xy + 4y^2) могут быть представлены как квадрат бинома (x - 2y)^2.

3. Теперь выражение становится: (x - 2y)^2 + 6x + 9.

4. Для того чтобы доказать, что это выражение неотрицательно, нам нужно доказать, что (x - 2y)^2 + 6x + 9 ≥ 0.

5. Заметим, что квадрат любого числа всегда неотрицателен.

6. Таким образом, (x - 2y)^2 ≥ 0.

7. Кроме того, 6x + 9 является линейной функцией, и её значение будет положительным при любом значении x.

8. Следовательно, (x - 2y)^2 + 6x + 9 ≥ 0.

Таким образом, неравенство 2x^2 - 4xy + 4y^2 + 6x + 9 ≥ 0 выполняется для всех значений x и y.

Анализ дискриминанта:

1. Рассмотрим уравнение 2x^2 - 4xy + 4y^2 + 6x + 9 = 0.

2. Для того чтобы доказать, что это уравнение не имеет решений, мы можем анализировать дискриминант квадратного трехчлена 2x^2 - 4xy + 4y^2 + 6x + 9.

3. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = -4y + 6, c = 4y^2 + 9.

4. Подставим значения a, b и c в формулу дискриминанта: D = (-4y + 6)^2 - 4 * 2 * (4y^2 + 9).

5. Упростим выражение: D = 16y^2 - 48y + 36 - 32y^2 - 72.

6. Далее, D = -16y^2 - 48y - 36.

7. Теперь мы должны определить знак дискриминанта D, чтобы понять, имеет ли уравнение решения.

8. Если D < 0, то уравнение не имеет решений.

9. Анализируя выражение D = -16y^2 - 48y - 36, мы видим, что коэффициент при y^2 отрицательный.

10. Это означает, что парабола, задаваемая уравнением, направлена вниз.

11. Так как парабола направлена вниз и коэффициент при y^2 отрицательный, то она всегда будет находиться выше оси x.

12. Следовательно, уравнение 2x^2 - 4xy + 4y^2 + 6x + 9 = 0 не имеет решений.

13. Из этого следует, что неравенство 2x^2 - 4xy + 4y^2 + 6x + 9 ≥ 0 верно для всех значений x и y.

Таким образом, мы доказали, что неравенство 2x^2 - 4xy + 4y^2 + 6x + 9 ≥ 0 выполняется для всех значений x и y.