Question

Решите уравнение Cos(2x)+2*sin(2x)=1

Answer 1

$cos2x+2\. sin2x=1\\\\cos^2x-sin^2x+2\cdot 2\, sinx\cdot cosx=sin^2x+cos^2x\\\\2sin^2x-4sinx\cdot cosx=0\\\\2\cdot sinx\cdot (sinx-2cosx)=0\\\\a)\; \; sinx=0\; ,\; \; x=\pi n\; ,\; n\in Z\\\\b)\; \; sinx-2\, cosx=0\; \; ,\; \; sinx=2\, cosx\; |:cosx\ne 0\; ,\\\\tgx=2\; ,\; \; x=arctg+2\pi k\; ,\; k\in Z\\\\Otvet:\; \; x=\pi n\; ;\; \; x=arctg2+\pi k\; ;\; \; n,k\in Z\; .$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

Cos(2x) + 2 * Sin(2x) = 1

Для упрощения уравнения мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Для удобства введем новую переменную, например, t:

t = 2x

Тогда уравнение примет вид:

Cos(t) + 2 * Sin(t) = 1

Теперь мы можем использовать тождество для Sin(2x):

Sin(2x) = 2 * Sin(x) * Cos(x)

И подставить его в уравнение:

Cos(2x) + 2 * Sin(x) * Cos(x) = 1

Далее воспользуемся тождеством сложения для Cos(2x):

Cos(2x) = Cos^2(x) - Sin^2(x)

Теперь у нас есть:

(Cos^2(x) - Sin^2(x)) + 2 * Sin(x) * Cos(x) = 1

Мы видим, что здесь есть квадраты Sin(x) и Cos(x), которые можно свести к общему знаменателю, используя тождество Sin^2(x) + Cos^2(x) = 1:

(Cos^2(x) - Sin^2(x)) + 2 * Sin(x) * Cos(x) = 1

(Cos^2(x) - Sin^2(x)) + 2 * Sin(x) * Cos(x) = Cos^2(x) + 2 * Sin(x) * Cos(x)

Теперь вычитаем Cos^2(x) и 2 * Sin(x) * Cos(x) с обеих сторон уравнения:

• Sin^2(x) = 0

Теперь решим это уравнение:

Sin^2(x) = 0

Sin(x) = 0

Теперь найдем все решения Sin(x) = 0. Это происходит в точках, где Sin(x) равен нулю:

x = 0 + k * π, где k - целое число.

Теперь мы знаем, что уравнение Cos(2x) + 2 * Sin(2x) = 1 имеет бесконечно много решений:

x = k * π, где k - целое число.