Question

Известно,что при любом n сумма n первых членов некоторой числовой последовательности (Un) выражается формулой Sn+n^2+2n/ Найдите девятый член этой последовательности и доказать, что (Un) является арифметической прогрессией.

Answer 1

Ответ: 19.

Объяснение: найдем первый член последовательности: 1² + 2 × 1 = 3.

Сумма двух первых членов равна 2² + 2×2 = 8. Тогда второй член равен 8 - 3 = 5.

Сумма трех первых членов: 3² + 2 × 3 = 15. Тогда третий член равен 15 - 5 - 3 = 7.

Заметим, что каждый новый член отличается от предыдущего ровно на 2 единицы: u1 = 3, u2 = 3 + 2 = 5, u3 = 5 + 2 = 7. Тогда последовательность Un - арифметическая прогрессия с разностью d = 2, что и требовалось доказать.

По формуле общего члена арифм. прогрессии найдем девятым член:

u9 = u1 + 8d = 3 + 8 × 2 = 19.

Answer 2

Для нахождения девятого члена последовательности U_n и доказательства того, что U_n является арифметической прогрессией, начнем с формулы для суммы первых n членов последовательности U_n:

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_n

По условию задачи, эта сумма выражается формулой:

S_n = n^2 + 2n

Теперь давайте выразим член U_n через S_n и S_(n-1):

U_n = S_n - S_(n-1)

Для нахождения U_9, мы можем использовать это выражение:

U_9 = S_9 - S_8

Теперь подставим формулу для S_n:

U_9 = (9^2 + 29) - (8^2 + 28)

Упростим это выражение:

U_9 = (81 + 18) - (64 + 16) U_9 = 99 - 80 U_9 = 19

Таким образом, девятый член последовательности U_n равен 19.

Теперь докажем, что последовательность U_n является арифметической прогрессией. Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой разница между любыми двумя последовательными членами постоянна.

Для этого найдем разницу между двумя последовательными членами U_n и U_(n-1):

U_n - U_(n-1) = (n^2 + 2n) - ((n-1)^2 + 2(n-1))

Упростим это выражение:

U_n - U_(n-1) = n^2 + 2n - (n^2 - 2n + 1 + 2n - 2)

Упростим еще:

U_n - U_(n-1) = n^2 + 2n - n^2 + 2n - 1 - 2n + 2

Замечаем, что множители n^2 и 2n сокращаются:

U_n - U_(n-1) = 0 - 1 + 2

U_n - U_(n-1) = 1

Таким образом, разница между любыми двумя последовательными членами U_n равна 1, что доказывает, что U_n - арифметическая прогрессия.