Question

Составить уравнение касательной к графику функции y=e5x+1, которая параллельна прямой y=5x−8. В ответ записать абсциссу точки касания.

Answer 1

Производная функции $y'=\left(e^{5x+1}\right)'=e^{5x+1}\cdot (5x+1)'=5e^{5x+1}$

Пусть $x_0$ - абсцисса точка касания. Поскольку касательная параллельна прямой y = 5x-8 то у них угловые коэффициенты равны. Следовательно, по геометрическому смыслу производной

$y'(x_0)=k\\ 5e^{5x_0+1}=5\\ \\ e^{5x_0+1}=1\\ \\ 5x_0+1=0\\ \\ x_0=-\dfrac{1}{5}$

Значение функции в точке x0 = -1/5

$y(-1/5)=e^{5\cdot (-1/5)+1}=e^0=1$

Уравнение касательной:

$f(x)=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0)=5(x-1/5)+1=5x$

Ответ: -1/5.

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной, параллельной прямой y = 5x - 8, для графика функции y = e^(5x + 1), нужно учесть, что касательная имеет такой же коэффициент наклона (5). Кроме того, касательная проходит через точку касания.

Для начала найдем производную функции y = e^(5x + 1):

y = e^(5x + 1)

y' = 5e^(5x + 1)

Затем мы можем найти производную функции, которая равна 5, и использовать ее как коэффициент наклона для касательной. Теперь нам нужно найти значение x, в которой касательная касается графика функции.

Известно, что производная функции в данной точке также является угловым коэффициентом касательной. Поэтому:

5e^(5x + 1) = 5

Теперь давайте решим это уравнение относительно x:

e^(5x + 1) = 1

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих сторон:

5x + 1 = ln(1)

ln(1) = 0, поэтому уравнение упрощается:

5x + 1 = 0

5x = -1

x = -1/5

Таким образом, абсцисса точки касания касательной, параллельной прямой y = 5x - 8, с графиком функции y = e^(5x + 1), равна -1/5.