Question

сумма двух положительных чисел равна 160. Найти эти числа, если сумма их кубов имеет наименьшее значение.

Answer 1

Пусть эти числа х и у
$x + y = 160 \\ y = 160 - x$
сумма их кубов


$S(x) = {x}^{3} + (160 - x) ^{3} = \\ = {x}^{3} + 160 ^{3} - 3 \cdot 160 ^{2} {x} + \\ + 3 \cdot 160 \cdot {x}^{2} - {x}^{3} = \\ = 480 {x}^{2} - 76800x + 4096000$
найдем наименьшее значение S(x)
S(x) парабола, ветви которой направлены вверх, значит приравняв нулю производную S(x) мы найдем х, при котором S(x) примет наименьшее значение.

для этого найдем производную и приравняем её нулю
$S'(x) =480 \cdot 2 \cdot x - 76800 = \\ = 960x - 76800 = 0$
откуда х=76800/960=80

у=160-х=80

Ответ:
эти оба числа равны 80

Answer 2

Задача, которую вы задали, является примером задачи оптимизации. Мы хотим найти два положительных числа, x и y, такие, что x + y = 160 и функция f(x) = x^3 + (160 - x)^3 имеет минимальное значение. Для этого мы можем использовать методы дифференциального исчисления, чтобы найти критические точки функции f(x) и проверить, являются ли они локальными минимумами или максимумами.

Производная функции f(x) равна f'(x) = 3x^2 - 3(160 - x)^2. Чтобы найти критические точки, мы приравниваем f'(x) к нулю и решаем уравнение относительно x. Получаем два корня: x = 80 и x = 40.

Чтобы проверить, являются ли эти точки локальными минимумами или максимумами, мы можем использовать вторую производную f''(x) = 6x - 6(160 - x). Если f''(x) > 0, то f(x) имеет локальный минимум в точке x. Если f''(x) < 0, то f(x) имеет локальный максимум в точке x. Если f''(x) = 0, то тест не дает однозначного ответа.

Подставляя x = 80 в f''(x), мы получаем f''(80) = 0, что не дает нам информации о характере точки x = 80. Однако, мы можем заметить, что f(80) = 2 * 80^3 = 1024000, что является наибольшим возможным значением функции f(x) на интервале (0, 160). Следовательно, точка x = 80 является глобальным максимумом функции f(x).

Подставляя x = 40 в f''(x), мы получаем f''(40) = 1440, что больше нуля. Следовательно, точка x = 40 является локальным минимумом функции f(x). Кроме того, мы можем показать, что это также глобальный минимум, так как f(40) = 40^3 + 120^3 = 704000, что меньше, чем f(x) для любого другого значения x на интервале (0, 160).

Таким образом, мы нашли решение задачи оптимизации. Два положительных числа, сумма которых равна 160 и сумма их кубов имеет наименьшее значение, это x = 40 и y = 120. Это можно проверить, подставив эти значения в исходное условие: 40 + 120 = 160 и 40^3 + 120^3 = 704000.