Question

Тема: Произведение и частное комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Возведите комплексное число в степень: (cos π/15 + i sin π/15)¹⁰

Answer 1

$z^{n}=r^{n}(cosn\varphi +i\cdot sinn\varphi )\\\\z=cos\frac{\pi}{15}+i\cdot sin\frac{\pi}{15}\; \; \Rightarrow \; \; r=1\; ,\; \; \varphi =\frac{\pi}{15}\\\\z^{10}=1^{10}\cdot (cos\frac{10\pi }{15}+i\cdot sin\frac{10\pi }{15})=cos\frac{2\pi}{3}+i\cdot sin\frac{2\pi }{3}$

Answer 2

Чтобы возвести комплексное число в степень, заданное в тригонометрической форме, нужно возвести модуль числа в этой форме в нужную степень и умножить аргумент числа на эту степень. В данном случае, у нас есть комплексное число:

$z = \cos(\frac{\pi}{15}) + i\sin(\frac{\pi}{15})$

Чтобы возвести это число в 10-ю степень, мы сначала найдем модуль и аргумент числа. Модуль комплексного числа в тригонометрической форме равен 1 (так как $\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$ для любого угла $\theta$).

Аргумент комплексного числа $\theta$ равен $\frac{\pi}{15}$.

Теперь, чтобы возвести число $z$ в 10-ю степень, мы умножим модуль в 10-й степени на аргумент в 10-й степени:

$z^{10} = 1^{10} \cdot (\frac{\pi}{15})^{10}$

Так как любое число, возведенное в 10-ю степень, остается неизменным, и $1^{10} = 1$, то ответ равен:

$z^{10} = (\frac{\pi}{15})^{10}$

Вы можете вычислить это числовое значение, чтобы получить ответ.