Question

Докажите, что функция возрастающая

Answer 1

$\sqrt{3(x+1) - 5} - \sqrt{3x - 5} = \frac{ (\sqrt{3(x+1) - 5} - \sqrt{3x - 5}) (\sqrt{3(x+1) + 5)} + \sqrt{3x - 5}}{ \sqrt{3(x+1) - 5)} + \sqrt{3x - 5}} = \\\ = \frac{ (3(x+1) - 5) - (3x - 5)}{ \sqrt{3(x+1) - 5} + \sqrt{3x - 5}} = \frac{ 3 }{ \sqrt{3(x+1) - 5} + \sqrt{3x - 5}}$
Так как разность между последующим и предыдущим больше 1, то функция возрастает.

Answer 2

Функция возрастающая

Для доказательства того, что функция является возрастающей, необходимо проверить, что при увеличении значения аргумента функция также увеличивает свое значение.

Одним из способов проверки возрастания функции является анализ ее производной. Если производная функции положительна на всей области определения, то функция является возрастающей.

Например, рассмотрим функцию f(x) = x^2. Чтобы доказать, что эта функция возрастает, мы можем вычислить ее производную и проверить, что она положительна на всей области определения.

Доказательство возрастания функции f(x) = x^2:

1. Вычислим производную функции f(x) = x^2: ``` f'(x) = 2x ```

2. Проверим знак производной на всей области определения функции: - Если x > 0, то f'(x) > 0, так как 2x > 0. - Если x < 0, то f'(x) < 0, так как 2x < 0. - Если x = 0, то f'(x) = 0.

Из этого следует, что производная функции положительна на всей области определения, за исключением точки x = 0.

3. Следовательно, функция f(x) = x^2 возрастает на всей области определения, за исключением точки x = 0.

Это доказывает, что функция f(x) = x^2 является возрастающей.