Question

2013^x-2012^x=1 Решить уравнение

Answer 1

Запишем уравнение в виде (2013/2012)^x - 1 = (1/2012)^x.
Известно, что функции вида a^x – убывающие при 0 < a < 1 и возрастающие при a > 1, тогда левая часть уравнения возрастает с ростом x, правая – убывает, поэтому у уравнения не может быть более одного корня.
Подбором находим x = 1: 2013^1 - 2012^1 = 2013 - 2012 = 1.

Ответ. x = 1.

Answer 2

Уравнение 2013^x - 2012^x = 1 может быть решено аналитически с использованием натуральных логарифмов. Давайте рассмотрим его шаг за шагом:

2013^x - 2012^x = 1

Сначала выразим 2012^x в левой части уравнения:

2013^x - 1 = 1 + 2012^x

Теперь выразим 2012^x справа, вычтя 1 из обеих сторон:

2013^x - 1 - 1 = 2012^x

2013^x - 2 = 2012^x

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих сторон:

ln(2013^x - 2) = ln(2012^x)

Используя свойства натуральных логарифмов, мы можем перенести показатели степени вперед:

x * ln(2013) - ln(2) = x * ln(2012)

Теперь выразим x:

x * (ln(2013) - ln(2012)) = ln(2)

Теперь разделим обе стороны на (ln(2013) - ln(2012)):

x = ln(2) / (ln(2013) - ln(2012))

Теперь вычислим численное значение этой дроби:

x ≈ 7.1343

Итак, приближенное значение x равно 7.1343.