Question

К графику функции y=f(x) проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой a=-1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции.

Answer 1

Для начала найдём производную функции, подставим нашу функцию и найдём касательную

$f(x)=\cfrac{3}{x+2}\Rightarrow f'(x)=-3\cdot \cfrac{\left(x+2\right)'}{\left({x+2}\right)^{2}}=-\cfrac{3}{\left({x+2}\right)^{2}}\\f'(-1)=-\cfrac{3}{(-1+2)^2}=-3$

Значит касательная к графику будет равна

$y=f'(-1)(x+1)+f(-1)=-3x$

Но так как они параллельны, то найдём её следующим образом $f'(-1)=f'(z)$, где $z$ - наша вторая точка касания

$-3=-\frac{3}{(z+2)^2}\Leftrightarrow (z+2)^2=1\Rightarrow z=\left \{ -3,-1 \right \}$

Точка $-1$ у нас уже есть, значит $-3$ - вторая точка касания

Answer 2

Ответ:

 -3

Уравнение касательной к графику y=f(x) в точке a имеет вид

$y = f(a) + f'(a) (x - a)$

$f'(x) = \left( \dfrac{3}{x+2}\right)' = - \dfrac{3}{( x + 2) ^2}$

отсюда уравнение касательной в точке a = -1

$y = \dfrac{3}{-1 + 2} + \left( - \dfrac{3}{(-1 + 2) ^ 2}\right) \cdot (x - (-1)) =3 + (-3) \cdot (x + 1) = -3x$

$f'(-1) = f'(b)\\\\-3 = - \dfrac{3}{(b + 2) ^ 2}\\\\(b + 2) ^ 2 = 1\\\\\left \{ {{b + 2 = 1} \atop {b + 2 = -1}} \right. \\\\\left \{ {{b=-1} \atop {b=-3}} \right.$

Answer 3

Для найти абсциссу точки, в которой вторая касательная касается графика функции $y = f(x)$, мы можем использовать производную функции. Пусть первая касательная проходит через точку $(a, f(a))$.

Тогда уравнение первой касательной будет:

$y = f'(a)(x - a) + f(a)$

где $f'(a)$ - производная функции в точке $a$.

Так как вторая касательная параллельна первой, то она тоже будет иметь уравнение вида:

$y = f'(a)(x - b) + f(a)$

где $b$ - абсцисса точки, в которой вторая касательная касается графика функции.

Таким образом, нам нужно найти значение $b$. Мы знаем, что первая касательная проходит через точку $(a, f(a))$, поэтому подставив $x = a$ и $y = f(a)$ в уравнение второй касательной, получим:

$f(a) = f'(a)(a - b) + f(a)$

Теперь мы можем упростить это уравнение:

$0 = f'(a)(a - b)$

Так как $f'(a)$ не равно нулю (иначе у нас не было бы касательной), то мы можем делить обе стороны на $f'(a)$:

$0 = a - b$

Теперь, чтобы найти $b$, нужно просто выразить его:

$b = a$

Итак, абсцисса точки, в которой вторая касательная касается графика функции, равна $a$, то есть $-1$.