Question

Решите уравнение 4 sin^2x=cos^2x

Answer 1

$4\sin^2x=\cos^2x;\\ 4-4\cos^2x=\cos^2x;\\ 5\cos^2x=4;\\ \cos^2x=\frac45;\\ \cos x=\pm\sqrt{\frac45}=\pm\frac2{\sqrt5};\\ x=\pm\arccos\left(\pm\frac2{\sqrt{5}}\right)+2\pi n,\ n\in Z.$

Answer 2

Давайте решим уравнение:

$4\sin^2(x) = \cos^2(x)$

Сначала мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы связать синус и косинус:

$1 - \sin^2(x) = \cos^2(x)$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$4\sin^2(x) = 1 - \sin^2(x)$

Теперь давайте решим это уравнение. Для этого сгруппируем все члены синуса на одной стороне:

$4\sin^2(x) + \sin^2(x) = 1$

$5\sin^2(x) = 1$

Теперь разделим обе стороны на 5:

$\sin^2(x) = \frac{1}{5}$

Чтобы найти значение синуса, возьмем квадратный корень с обеих сторон:

$\sin(x) = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

Теперь найдем значения синуса:

$\sin(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

Так как синус может быть положительным или отрицательным, у нас есть два набора решений:

1. $\sin(x) = \frac{1}{\sqrt{5}}$
2. $\sin(x) = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

Теперь, чтобы найти значения $x$, мы можем воспользоваться обратной тригонометрической функцией арксинуса:

1. Для $\sin(x) = \frac{1}{\sqrt{5}}$, $x = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ или $x = \frac{\pi}{4}$.
2. Для $\sin(x) = -\frac{1}{\sqrt{5}}$, $x = \arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ или $x = -\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, уравнение $4\sin^2(x) = \cos^2(x)$ имеет два решения: $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = -\frac{\pi}{4}$.