Question

Доведіть нерівність a3 + 8 ≥ 2a2 + 4a, де a ≥ –2.

Answer 1

a³+ 8 ≥ 2a² + 4a, де a ≥ –2.

(a+2)(a²-2a+4) ≥ 2a(a+2);

оскільки а+2≥ 0 при а ≥ -2, то поділемо нерівність на (а+2), [не змінюючи знака нерівності]:

a²-2a+4≥2a,

a²-4a+4≥0,

(а-2)² ≥ 0 при а ≥ -2.

Отже,

a³+ 8 ≥ 2a² + 4a при a ≥ –2.

Доведено.

Answer 2

Ответ:       [2;+∞).

Объяснение:

a³+ 8 ≥ 2a² + 4a,            где a ≥ –2.

(a+2)(a²-2a+4)≥2a(a+2);   [:(a+2)]

a²-2a+4≥2a;

a²-4a+4≥0;

a1+a2=4;

a1*a2=4;

a1=a2≥2.

Ответ:     a∈[2;+∞).

Answer 3

Окей, давай розглянемо цю нерівність.

$a^3 + 8 \geq 2a^2 + 4a$

Спростимо її, віднімемо вираз $2a^2 + 4a$ з обох боків:

$a^3 - 2a^2 - 4a + 8 \geq 0$

Тепер давай розкладемо на множники:

$a(a^2 - 2a - 4) + 8 \geq 0$

А тепер ми можемо скористатися умовою $a \geq -2$. Оскільки $a$ має бути не менше -2, можемо врахувати це у розкладі:

$(a + 2)(a - 4) + 8 \geq 0$

Тепер залишається визначити, при яких значеннях $a$ це вираз є не менше нуля. Ми знаємо, що $a \geq -2$, тому $a + 2 \geq 0$, і ми отримаємо:

$(a - 4) + 8 \geq 0$

$a - 4 \geq -8$

$a \geq -4$

Отже, розв'язком нерівності $a^3 + 8 \geq 2a^2 + 4a$ при $a \geq -2$ є $a \geq -4$.