Question

найти интеграл (x^2) / (x-1)я тут поделал что то, но заступорилсяu=x-1du=dxint (x+x/(x-1))dx = int (xdx) + int (x/(x-1))dx

Answer 1

x/2+x+log(x-1)=x^2/2+x+log(x-1)

Answer 2

Для решения данного интеграла, нам понадобится использовать метод частичных дробей. Давайте разложим дробь в сумму простых дробей:


Теперь найдем значения A, B и C. Умножим обе части уравнения на знаменатель (x-1) и раскроем скобки:


Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:


Соберем члены с одинаковыми степенями x:


Теперь мы можем сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x на обеих сторонах уравнения:

- Коэффициент при x^2: 1 = A + B - Коэффициент при x^1: 0 = -A - Коэффициент при x^0: 0 = -A + C

Из второго уравнения получаем, что A = 0. Используя это значение в третьем уравнении, получаем, что C = 0. Подставим эти значения в первое уравнение:

1 = 0 + B

Отсюда получаем, что B = 1. Теперь можем записать разложение исходной дроби:


Теперь мы можем интегрировать каждую простую дробь по отдельности. Интеграл первой дроби:


Для интегрирования этой дроби мы можем сделать замену переменных: u = x - 1. Тогда, dx = du. Подставим это в интеграл:


Интеграл этой дроби равен логарифму абсолютной величины переменной u:


Теперь рассмотрим интеграл второй дроби:


Для интегрирования этой дроби мы можем сделать замену переменных: u = x - 1. Тогда, dx = du. Подставим это в интеграл:


Раскроем скобки:


Интеграл первого слагаемого равен логарифму абсолютной величины переменной u:


Интеграл второго слагаемого равен -1/u:


Теперь можем записать окончательный ответ:


Итак, интеграл функции (x^2)/(x-1) равен логарифму абсолютной величины разности (x-1), плюс дробь x/(x-1), плюс постоянная C.