Question

19. Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии на 150 меньше суммы следующих пяти ее членов. На сколько одиннадцатый член прогрессии больше первого?​

Answer 1

Формула n-ого члена арифметической прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$

По условию, сумма первых пяти членов арифметической прогрессии на 150 меньше суммы следующих пяти ее членов:

$S_{6-10}-S_5=150$

$\dfrac{2a_6+4d}{2}\cdot 5-\dfrac{2a_1+4d}{2}\cdot 5=150$

$(2a_6+4d-2a_1-4d)\cdot \dfrac{5}{2}=150$

$(2a_6-2a_1)\cdot \dfrac{5}{2}=150$

$(a_6-a_1)\cdot 5=150$

$a_6-a_1=30$

$a_1+5d-a_1=30$

$5d=30$

$d=6$

Теперь найдем, на сколько одиннадцатый член прогрессии больше первого:

$a_{11}-a_1=a_1+10d-a_1=10d$

$a_{11}-a_1=10\cdot6=60$

Ответ: на 60

Answer 2

Давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как "a", разность между членами прогрессии как "d", и одиннадцтый член прогрессии как "a₁₁". Также нам дано, что сумма первых пяти членов прогрессии меньше суммы следующих пяти членов на 150. Мы можем записать это уравнение следующим образом:

(a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d)) - (a₁₁ + (a₁₁ - d) + (a₁₁ - 2d) + (a₁₁ - 3d) + (a₁₁ - 4d)) = 150

Теперь давайте упростим это уравнение:

5a + 10d - 5a₁₁ - 10d = 150

5a - 5a₁₁ = 150

5(a - a₁₁) = 150

Теперь мы можем найти разность "d" между членами прогрессии:

d = 150 / 5 d = 30

Теперь у нас есть значение разности "d". Чтобы найти, на сколько одиннадцатый член прогрессии больше первого, мы можем использовать формулу для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

a₁₁ = a + (n - 1) * d

где n - номер члена прогрессии.

В данном случае, n = 11, и мы уже знаем значение "d" (30), а первый член "a" будет просто "a". Теперь мы можем найти одиннадцатый член:

a₁₁ = a + (11 - 1) * 30 a₁₁ = a + 10 * 30 a₁₁ = a + 300

Таким образом, одиннадцатый член прогрессии больше первого на 300.