Question

Доведіть нерівність (К-26) (х-1)²<х(х-2)+26

Answer 1

Відповідь:

(х-1)²<х(х-2)+26

х²-2х+1<х²-2х+26,

х²-х²-2х+2х+1-26<0,

-25<0.

Нерівність правильна.

Отже , при будь -якому значенні х нерівність

(х-1)²<х(х-2)+26 також правильна.

Доведено.

Answer 2

Для доведення нерівності (K-26)(x-1)² < x(x-2) + 26 спростимо обидві сторони нерівності та визначимо умови, за яких вона виконується.

1. Розгорнемо квадрат на лівій стороні: (K-26)(x-1)² = (K-26)(x² - 2x + 1) = Kx² - 2Kx + K - 26x² + 52x - 26

2. Тепер спростимо праву сторону: x(x-2) + 26 = x² - 2x + 26

Тепер нерівність має вигляд: Kx² - 2Kx + K - 26x² + 52x - 26 < x² - 2x + 26

3. Далі, скоротимо подібні члени на обох сторонах: (K - 26 - 1) x² + (-2K + 52 + 2) x + (K - 26 - 26) < 0

Це призводить нас до: (K - 27) x² + (52 - 2K + 2) x + (K - 52) < 0

4. Поспрощуємо вираз: (K - 27) x² + (54 - 2K) x + (K - 52) < 0

5. Тепер ми маємо квадратичний вираз, і нам потрібно визначити умови, за яких цей вираз менше за нуль. Для цього можемо використовувати дискримінант:

Дискримінант D = (54 - 2K)² - 4(K - 27)(K - 52)

6. Знайдемо умови, за яких D < 0. Це гарантує, що квадратичний вираз менше за нуль.

(54 - 2K)² - 4(K - 27)(K - 52) < 0

7. Розгорнемо квадрат різниці (54 - 2K)²: (54 - 2K)² = 2916 - 216K + 4K²

8. Підставимо це у нерівність та продовжимо розв'язування: 2916 - 216K + 4K² - 4(K - 27)(K - 52) < 0

9. Розгорнемо добуток (K - 27)(K - 52) та спростимо: 4K² - 216K + 2916 - 4(K² - 79K + 1404) < 0

10. Розгорнемо добуток та продовжимо спрощення: 4K² - 216K + 2916 - 4K² + 316K - 5616 < 0

11. Знайдемо суму членів: 100K - 2700 < 0

12. Поділимо обидві сторони на 100 (дільник не впливає на напрямок нерівності): K - 27 < 0

Таким чином, нерівність (K-26)(x-1)² < x(x-2) + 26 виконується, коли K < 27.