Question

Помогите решить уравнение 1)(x^2-x+1)^4-8x^2(x^2-x+1)^2+16x^4=0

Answer 1

[(x²-x+1)²-4x²]²=0
(x²-x+1)²-4x²=0
(x²-x+1-2x)(x²-x+1+2x)=0
x²-3x+1=0
D=9-4=5
x1=(3-√5)/2
 U x2=(3+√5)/2
x²+x+1=0
D=1-4=-3<0 нет решения

Answer 2

Свернем по формуле квадрата разности
((x²-x+1)²-4x²)²=0
(x²-x+1)²-4x²=0
разложим по формуле разность квадратов
(x²-x+1-2x)(x²-x+1+2x)=0
x²-3x+1=0                           x²+x+1=0
D=9-4=5                             D=1-4=-3<0
x1=(3+√5)/2                        корней нет
x2=(3-√5)/2

Answer 3

Для решения данного уравнения, можно воспользоваться методом замены переменной. Давайте введем новую переменную $y = x^2 - x + 1$, тогда уравнение примет вид:

$$y^4 - 8x^2y^2 + 16x^4 = 0$$

Теперь заметим, что уравнение стало более простым, так как оно зависит только от переменной $y$:

$$y^4 - 8y^2 + 16 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $y^2$. Давайте решим его, используя обозначение $t = y^2$:

$$t^2 - 8t + 16 = 0$$

Это уравнение можно решить с помощью квадратного трехчлена:

$$(t - 4)^2 = 0$$

Теперь найдем значения $t$:

$$t - 4 = 0 \implies t = 4$$

Теперь вернемся к переменной $y$:

$$y^2 = 4$$

Извлечем квадратный корень:

$$y = \pm 2$$

Теперь у нас есть два значения для $y$. Теперь мы можем вернуться к исходной переменной $x^2 - x + 1 = y$ и решить два уравнения:

1. $x^2 - x + 1 = 2$
2. $x^2 - x + 1 = -2$

Решение первого уравнения:

$$x^2 - x + 1 = 2 \implies x^2 - x - 1 = 0$$

С помощью формулы квадратного корня найдем корни:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

где $a = 1$, $b = -1$, и $c = -1$. Подставим значения:

$$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

Решение второго уравнения:

$$x^2 - x + 1 = -2 \implies x^2 - x + 3 = 0$$

Снова используем формулу квадратного корня:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

где $a = 1$, $b = -1$, и $c = 3$. Подставим значения:

$$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(3)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-11}}{2}$$

Поскольку дискриминант отрицателен ($-11$), второе уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решения исходного уравнения:

1. $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
2. $x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$