Question

Середина М стороны АД выпуклого четырехугольника АВСД равноудалена от всех его вершин. Найдите АД, если ВС=12, а углы В и С четырехугольника соответственно равны115 и 95 градусов

Answer 1

По условию М - центр описанной вокруг ABCD окружности, а АD - ее диаметр. Т.к. ∠ACD=90°, то ∠BCA=∠BCD-∠ACD=95°-90°=5°. Значит, ∠BAC=180°-∠ABC-∠BCA=180°-115°-5°=60°. Отсюда по теореме синусов для треугольника ABC получаем AD=2R=BC/sin(∠BAC)=12·2/√3=8√3.

Answer 2

Чтобы найти длину стороны AD выпуклого четырехугольника ABCD, давайте воспользуемся свойствами треугольника и условием задачи.

Известно, что середина стороны М стороны AD равноудалена от всех вершин. Это означает, что М является центром окружности, описанной вокруг треугольника BCD, так как эта окружность будет равномерно расположена относительно вершин B, C и D.

Теперь мы знаем, что углы B и C четырехугольника равны 115 и 95 градусов. Также, из свойств окружности, известно, что центр окружности равномерно расположен относительно вершин треугольника BCD, следовательно, угол BMD равен половине угла BCD (половина от 115 градусов) и угол CMD равен половине угла DCB (половина от 95 градусов).

Угол BMD = 115 / 2 = 57.5 градусов Угол CMD = 95 / 2 = 47.5 градусов

Теперь у нас есть треугольник BMD и треугольник CMD, в которых известны углы. Мы также знаем, что угол BCD равен 180 градусов (сумма углов четырехугольника), и, следовательно, угол M равен половине этой суммы:

Угол M = 180 / 2 = 90 градусов

Теперь мы можем использовать закон синусов в треугольниках BMD и CMD для нахождения стороны MD, где угол M равен 90 градусов:

Для треугольника BMD: sin(BMD) / BD = sin(90) / MD

Для треугольника CMD: sin(CMD) / CD = sin(90) / MD

Так как sin(90) = 1, у нас остается:

sin(BMD) / BD = 1 / MD sin(CMD) / CD = 1 / MD

Теперь мы можем решить эту систему уравнений для MD. Мы знаем, что BD = CD = 12 (дано в задаче), и у нас есть значения sin(BMD) и sin(CMD):

sin(BMD) = sin(57.5 градусов) ≈ 0.809 sin(CMD) = sin(47.5 градусов) ≈ 0.733

Теперь подставим эти значения в уравнения:

0.809 / 12 = 1 / MD 0.733 / 12 = 1 / MD

Теперь найдем MD:

MD = 12 / 0.809 ≈ 14.84 MD = 12 / 0.733 ≈ 16.38

Так как MD не может быть отрицательным, правильный ответ - это большее из двух значений:

MD ≈ 16.38

Таким образом, сторона AD равна двойному значению MD:

AD ≈ 2 * 16.38 ≈ 32.76

Ответ: AD ≈ 32.76.