Question

вычислить предел последовательности lim(n→∞) 1/(1*2*3) +1/(2*3*4)+...+1/n(n+1)(n+2) сделайте пожалуйста на листочке ​

Answer 1

Ответ:

0,25 ......................................

Объяснение:

Answer 2

Конечно, давайте вычислим данный предел на листочке.

Последовательность, которую нам нужно вычислить, выглядит следующим образом:

$$\lim_{{n \to \infty}} \left( \frac{1}{{1 \cdot 2 \cdot 3}} + \frac{1}{{2 \cdot 3 \cdot 4}} + \ldots + \frac{1}{{n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}} \right)$$

Для того чтобы найти предел данной последовательности, сначала выразим каждый член последовательности в виде частного двух дробей:

$$\frac{1}{{n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}} = \frac{{\frac{1}{{n \cdot (n+1)}}}}{{n+2}} = \frac{{\frac{1}{n} - \frac{1}{{n+1}}}}{{n+2}}$$

Теперь распишем нашу последовательность с использованием этого выражения:

$$\lim_{{n \to \infty}} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{n \cdot (n+1)} - \frac{1}{{(n+1) \cdot (n+2)}} \right)$$

Заметим, что многие члены в последовательности сокращаются:

$$\lim_{{n \to \infty}} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{{(n+1) \cdot (n+2)}} \right)$$

Теперь найдем предел этой упрощенной последовательности при $n \to \infty$:

$$\lim_{{n \to \infty}} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{{(n+1) \cdot (n+2)}} \right) = \frac{1}{2}$$

Таким образом, предел исходной последовательности равен $\frac{1}{2}$.