Question

При каких значениях функция в точке х0=0 имеет производную

Answer 1

$\exists f'(0)\Leftrightarrow \exists \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\infty$ только если существует конечный предел из $\underset{{}}{\mathop{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \frac{{\left| x \right|}^{\alpha }}\sin \frac{1}{x}{x}}}\,=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left| x \right|}^{\alpha -1}}\sin \frac{1}{x}=0$, следовательно $\alpha > 1$

Answer 2

Функция имеет производную в точке $x_0$ (в данном случае $x_0 = 0$), если предел

$$\lim_{{h \to 0}} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

существует. Этот предел представляет собой определение производной в точке.

Попробуем разобраться с конкретным примером функции. Представим, что у нас есть функция $f(x)$, и мы хотим проверить, имеет ли она производную в точке $x_0 = 0$.

Для примера, давайте рассмотрим функцию $f(x) = x^2$. Теперь вычислим предел:

$$\lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0}} \frac{(0 + h)^2 - 0^2}{h} = \lim_{{h \to 0}} \frac{h^2}{h} = \lim_{{h \to 0}} h = 0$$

В этом случае, предел существует, и производная функции $f(x) = x^2$ в точке $x_0 = 0$ равна 0.

Таким образом, у функции $f(x) = x^2$ производная в точке $x_0 = 0$ существует.