Question

Доказать, что последовательность хn, расходится если:​

Answer 1

Пусть $u_n=n^{(-1)^n}$, тогда $u_{2n}=2n$, $u_{2n+1}=\dfrac1{2n+1}$

Если бы последовательность была сходящейся, то все подпоследовательности сходились бы к одному и тому же пределу.  Однако мы видим, что подпоследовательность нечетных членов сходится к $0$, а подпоследовательность четных членов стремится к $+\infty$

Answer 2

Для доказательства расходимости последовательности {x_n}, обычно используют различные критерии, которые показывают, что последовательность не имеет конечного предела. Вот несколько распространенных способов доказательства расходимости:

1. Ограниченность последовательности: Если можно показать, что последовательность {x_n} не ограничена сверху или снизу, то это может свидетельствовать о ее расходимости. Например, если можно найти подпоследовательность {x_{n_k}}, которая неограничена, то это означает, что исходная последовательность также расходится.

2. Критерий Коши: Последовательность считается расходящейся, если она не удовлетворяет критерию Коши. Этот критерий утверждает, что для любого положительного числа ε > 0 существует номер N, такой что для всех n, m > N выполняется |x_n - x_m| > ε. Если последовательность не удовлетворяет этому условию, она расходится.

3. Доказательство от противного: Можно предположить, что последовательность сходится к какому-то конечному пределу L, и затем показать, что это приводит к противоречию. Например, если последовательность имеет подпоследовательность, которая стремится к различному пределу, это приводит к расходимости.

4. Использование предельного арифметического: Если можно показать, что последовательность {x_n} расходится, используя предельное арифметическое, то это тоже может служить доказательством. Например, если можно показать, что сумма, разность, произведение или частное сходящихся последовательностей сходится к бесконечности, то исходная последовательность расходится.

В зависимости от конкретных условий и характера последовательности, один из этих методов может быть более подходящим для доказательства ее расходимости.