Question

Решите тригонометрическое уравнение: [tex] \sqrt{3} cos ^{2} x -0.5sin2x=0 [/tex]

Answer 1

1
√3cos²x-sinxcosx=0
cosx(√3cosx-sinx)=0
cosx=0⇒x=π/2+πn,n∈z
√3cosx-sinx=0/cosx
√3-tgx=0
tgx=√3⇒x=π/3+πk,k∈z
2
cos²x+2sinxcosx=0
cosx(cosx+2sinx)=0
cosx+2sinx=0/cosx
1+2tgx=0
tgx=-1/2⇒x=-arctg1/2+πk,k∈z
cosx=0⇒x=π/2+πn,n∈z

Answer 2

Давайте решим данное тригонометрическое уравнение:

$\sqrt{3} \cos^2(x) - 0.5 \sin(2x) = 0$

Для упрощения этого уравнения, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Начнем с преобразования $\sin(2x)$ с использованием тождества для удвоенного угла:

$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

$\sqrt{3}\cos^2(x) - 0.5(2\sin(x)\cos(x)) = 0$

Далее, давайте разделим каждый член уравнения на $\cos(x)$ (при условии, что $\cos(x) \neq 0$):

$\sqrt{3}\cos(x) - \sin(x) = 0$

Теперь мы можем решить это уравнение. Разделим обе стороны на $\cos(x)$:

$\frac{\sqrt{3}\cos(x)}{\cos(x)} - \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 0$

$\sqrt{3} - \tan(x) = 0$

Теперь выразим $\tan(x)$:

$\tan(x) = \sqrt{3}$

Чтобы найти все решения этого уравнения, мы можем вспомнить, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, и теперь мы можем записать общее решение:

$x = 60^\circ + 180^\circ \cdot n$

где $n$ - целое число. Таким образом, у нас есть бесконечно много решений для уравнения.

Answer 3

Давайте решим данное тригонометрическое уравнение. Уравнение выглядит следующим образом:

$\sqrt{3} \cos^2 x - 0.5 \sin(2x) = 0$

Сначала заметим, что $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Теперь уравнение выглядит так:

$\sqrt{3} \cos^2 x - 1 \cdot \sin(x)\cos(x) = 0$

Теперь выразим $\sin(x)$ через $\cos(x)$, используя тригонометрическое тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$. Это означает, что $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$. Подставим это в уравнение:

$\sqrt{3} \cos^2 x - 1 \cdot (1 - \cos^2(x))\cos(x) = 0$

Раскроем скобки:

$\sqrt{3} \cos^2 x - \cos(x) + \cos^3(x) = 0$

Теперь у нас есть уравнение, в котором все члены содержат $\cos(x)$. Мы можем решить его, используя метод подстановки. Давайте предположим, что $\cos(x) = t$. Тогда уравнение становится:

$\sqrt{3} t^2 - t + t^3 = 0$

Теперь решим это кубическое уравнение относительно $t$. Для начала домножим уравнение на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от корня:

$3t^2 - \sqrt{3}t + \sqrt{3}t^3 = 0$

Теперь перепишем это уравнение в следующем виде:

$\sqrt{3}t^3 + 3t^2 - \sqrt{3}t = 0$

Мы видим, что $t = 0$ - один из его корней. Теперь мы можем разделить уравнение на $t$, так как $t = 0$ не подходит:

$\sqrt{3}t^2 + 3t - \sqrt{3} = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $t$. Используем квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$:

$a = \sqrt{3}, \quad b = 3, \quad c = -\sqrt{3}$

Применяя формулу для корней квадратного уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Подставим значения $a$, $b$ и $c$:

$t = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3})}}{2 \cdot \sqrt{3}}$