Question

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=1+8x^2-x^4 на [-1;1]

Answer 1

F`(x)=16x-4x³=4x(2-x)(2+x)=0
x=0∈[-1;1]
x=2∉[-1;1]
x=-2∉[-1;1]
f(-1)=1+8-1=8 наиб
f(0)=1наим
f(1)=1+8-1=8 наиб

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 1 + 8x^2 - x^4$ на интервале $[-1, 1]$, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $f(x)$ и решите уравнение $f'(x) = 0$ для нахождения критических точек.

2. Определите значение функции в критических точках и на границах интервала $[-1, 1]$.

3. Сравните найденные значения, чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f(x) = 1 + 8x^2 - x^4$ $f'(x) = 16x - 4x^3$

Теперь найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $16x - 4x^3 = 0$

Факторизуем это уравнение: $4x(4 - x^2) = 0$

Из этого уравнения следует, что $x = 0$ или $x = 2$ или $x = -2$.

2. Теперь найдем значения функции в критических точках и на границах интервала $[-1, 1]$:

a. Для $x = 0$: $f(0) = 1 + 8(0)^2 - (0)^4 = 1$

b. Для $x = 2$: $f(2) = 1 + 8(2)^2 - (2)^4 = 1 + 32 - 16 = 17$

c. Для $x = -2$: $f(-2) = 1 + 8(-2)^2 - (-2)^4 = 1 + 32 - 16 = 17$

d. Для $x = -1$: $f(-1) = 1 + 8(-1)^2 - (-1)^4 = 1 + 8 - 1 = 8$

e. Для $x = 1$: $f(1) = 1 + 8(1)^2 - (1)^4 = 1 + 8 - 1 = 8$

3. Теперь сравним найденные значения:

Наименьшее значение функции на интервале $[-1, 1]$ равно 1 и достигается в точке $x = 0$.

Наибольшее значение функции на интервале $[-1, 1]$ равно 17 и достигается в точках $x = 2$ и $x = -2$.

Итак, наибольшее значение функции $f(x)$ на интервале $[-1, 1]$ равно 17, а наименьшее значение равно 1.