Question

Найдите точки, в которых касательные к кривым f(x)=x^3−x−1 и g(x)=3x^2−4x+1 параллельны. Написать уравнения этих касательных

Answer 1

Находим производные: f'(x)=3x^2-1, g'(x)=6x-4.
Значение производной в точке касания определяет угловой коэффициент касательной в этой точке. Поскольку касательные параллельны, то производные можно приравнять (у касательных равны угловые коэффициенты), поэтому 3x^2-1=6x-4<=>3x^2-6x+3=0<=>x^2-2x+1=0=>
=>x1=1,x2=1. f(1)=1^3-1-1=-1, g(1)=3*1^2-4*1+1=0. f'(1)=2, g'(1)=2.
Составляем уравнения касательных: f(x)=>y+1=2(x-1), y=2x-3,
g(x)=>y-0=2(x-1), y=2x-2. Ну, и для наглядности графики

Answer 2

Чтобы касательные к кривым $f(x) = x^3 - x - 1$ и $g(x) = 3x^2 - 4x + 1$ были параллельными, их производные в этих точках должны быть равными.

1. Начнем с $f(x) = x^3 - x - 1$.

   • Найдем производную: $f'(x) = 3x^2 - 1$

2. Теперь рассмотрим $g(x) = 3x^2 - 4x + 1$.

   • Найдем производную: $g'(x) = 6x - 4$

Касательная к графику функции $f(x)$ в точке $(a, f(a))$ имеет уравнение вида: $y = f'(a)(x - a) + f(a)$

Касательная к графику функции $g(x)$ в точке $(b, g(b))$ имеет уравнение вида: $y = g'(b)(x - b) + g(b)$

Так как касательные параллельны, $f'(a) = g'(b)$. Подставим производные и найдем уравнения:

$3a^2 - 1 = 6b - 4$

Также, чтобы точки лежали на соответствующих кривых, подставим $f(a) = a^3 - a - 1$ и $g(b) = 3b^2 - 4b + 1$:

$a^3 - a - 1 = 3b^2 - 4b + 1$

Теперь у нас есть система уравнений:

$$\begin{cases} 3a^2 - 1 = 6b - 4 \\ a^3 - a - 1 = 3b^2 - 4b + 1 \end{cases}$$

Решим эту систему уравнений, чтобы найти точки $(a, b)$, в которых касательные параллельны.